Toán hữu hạn Ví dụ

$\int \sin^{2} (1 - x) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = 1 - x$ . Sau đó $d u_{1} = - d x$ , nên $- d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = 1 - x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Bước 1.1.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 - 1$

Bước 1.1.4

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$- 1$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int - \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 2

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 3

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\sin^{2} (u_{1})$ ở dạng $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$- \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$- \frac{1}{2} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 8

Giả sử $u_{2} = 2 u_{1}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 u_{1}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Bước 8.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $2 u_{1}$ đối với $u_{1}$ là $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 8.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 8.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Bước 9

Kết hợp $\cos (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Bước 10

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Bước 11

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Bước 12

Rút gọn.

$- \frac{1}{2} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Bước 13

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $1 - x$ .

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Bước 13.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 u_{1}$ .

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Bước 13.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $1 - x$ .

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (2 (1 - x))) + C$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (2 \cdot 1 + 2 (- x))) + C$

Bước 14.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (2 + 2 (- x))) + C$

Bước 14.1.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (2 - 2 x)) + C$

Bước 14.1.4

Kết hợp $\sin (2 - 2 x)$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

Bước 14.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} (- x) - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

Bước 14.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (- x) - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

Bước 14.3.2

Nhân $- \frac{1}{2} (- x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) x - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

Bước 14.3.2.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

Bước 14.3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

Bước 14.3.3

Nhân $- \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{\sin (2 - 2 x)}{2} + C$

Bước 14.3.3.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 - 2 x)}{2} + C$

Bước 14.3.3.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sin (2 - 2 x)}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 - 2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Bước 14.3.3.4

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 - 2 x)}{4} + C$

Bước 15

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 - 2 x) + C$