Toán hữu hạn Ví dụ

$- 25 - 9 y - z = - 16$ , $- 15 - 15 y - 2 z = 26$ , $20 x + 9 y + z = 6$

Bước 1

Move variables to the left and constant terms to the right.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa biến sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Cộng $25$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 9 y - z = - 16 + 25$

$- 15 - 15 y - 2 z = 26$

$20 x + 9 y + z = 6$

Bước 1.1.2

Cộng $- 16$ và $25$ .

$- 9 y - z = 9$

$- 15 - 15 y - 2 z = 26$

$20 x + 9 y + z = 6$

$- 9 y - z = 9$

$- 15 - 15 y - 2 z = 26$

$20 x + 9 y + z = 6$

Bước 1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa biến sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cộng $15$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 9 y - z = 9$

$- 15 y - 2 z = 26 + 15$

$20 x + 9 y + z = 6$

Bước 1.2.2

Cộng $26$ và $15$ .

$- 9 y - z = 9$

$- 15 y - 2 z = 41$

$20 x + 9 y + z = 6$

$- 9 y - z = 9$

$- 15 y - 2 z = 41$

$20 x + 9 y + z = 6$

$- 9 y - z = 9$

$- 15 y - 2 z = 41$

$20 x + 9 y + z = 6$

Bước 2

Write the system as a matrix.

$[\begin{array}{c} 0 & - 9 & - 1 & 9 \\ 0 & - 15 & - 2 & 41 \\ 20 & 9 & 1 & 6 \end{array}]$

Bước 3

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Swap $R_{3}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 20 & 9 & 1 & 6 \\ 0 & - 15 & - 2 & 41 \\ 0 & - 9 & - 1 & 9 \end{array}]$

Bước 3.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{20}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{20}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{20}{20} & \frac{9}{20} & \frac{1}{20} & \frac{6}{20} \\ 0 & - 15 & - 2 & 41 \\ 0 & - 9 & - 1 & 9 \end{array}]$

Bước 3.2.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{20} & \frac{1}{20} & \frac{3}{10} \\ 0 & - 15 & - 2 & 41 \\ 0 & - 9 & - 1 & 9 \end{array}]$

Bước 3.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{15}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{15}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{20} & \frac{1}{20} & \frac{3}{10} \\ - \frac{1}{15} \cdot 0 & - \frac{1}{15} \cdot - 15 & - \frac{1}{15} \cdot - 2 & - \frac{1}{15} \cdot 41 \\ 0 & - 9 & - 1 & 9 \end{array}]$

Bước 3.3.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{20} & \frac{1}{20} & \frac{3}{10} \\ 0 & 1 & \frac{2}{15} & - \frac{41}{15} \\ 0 & - 9 & - 1 & 9 \end{array}]$

Bước 3.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 9 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 9 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{20} & \frac{1}{20} & \frac{3}{10} \\ 0 & 1 & \frac{2}{15} & - \frac{41}{15} \\ 0 + 9 \cdot 0 & - 9 + 9 \cdot 1 & - 1 + 9 (\frac{2}{15}) & 9 + 9 (- \frac{41}{15}) \end{array}]$

Bước 3.4.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{20} & \frac{1}{20} & \frac{3}{10} \\ 0 & 1 & \frac{2}{15} & - \frac{41}{15} \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} & - \frac{78}{5} \end{array}]$

Bước 3.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $5$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $5$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{20} & \frac{1}{20} & \frac{3}{10} \\ 0 & 1 & \frac{2}{15} & - \frac{41}{15} \\ 5 \cdot 0 & 5 \cdot 0 & 5 (\frac{1}{5}) & 5 (- \frac{78}{5}) \end{array}]$

Bước 3.5.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{20} & \frac{1}{20} & \frac{3}{10} \\ 0 & 1 & \frac{2}{15} & - \frac{41}{15} \\ 0 & 0 & 1 & - 78 \end{array}]$

Bước 3.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{2}{15} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{2}{15} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{20} & \frac{1}{20} & \frac{3}{10} \\ 0 - \frac{2}{15} \cdot 0 & 1 - \frac{2}{15} \cdot 0 & \frac{2}{15} - \frac{2}{15} \cdot 1 & - \frac{41}{15} - \frac{2}{15} \cdot - 78 \\ 0 & 0 & 1 & - 78 \end{array}]$

Bước 3.6.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{20} & \frac{1}{20} & \frac{3}{10} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{23}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - 78 \end{array}]$

Bước 3.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{20} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{20} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{20} \cdot 0 & \frac{9}{20} - \frac{1}{20} \cdot 0 & \frac{1}{20} - \frac{1}{20} \cdot 1 & \frac{3}{10} - \frac{1}{20} \cdot - 78 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{23}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - 78 \end{array}]$

Bước 3.7.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{9}{20} & 0 & \frac{21}{5} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{23}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - 78 \end{array}]$

Bước 3.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{9}{20} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{9}{20} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{9}{20} \cdot 0 & \frac{9}{20} - \frac{9}{20} \cdot 1 & 0 - \frac{9}{20} \cdot 0 & \frac{21}{5} - \frac{9}{20} \cdot \frac{23}{3} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{23}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - 78 \end{array}]$

Bước 3.8.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{3}{4} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{23}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - 78 \end{array}]$

Bước 4

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = \frac{3}{4}$

$y = \frac{23}{3}$

$z = - 78$

Bước 5

The solution is the set of ordered pairs that make the system true.

$(\frac{3}{4}, \frac{23}{3}, - 78)$