Toán hữu hạn Ví dụ

$x + y + z = 32$ , $x + \frac{1}{10} y + \frac{1}{6} z = \frac{17}{3}$ , $\frac{1}{2} x + \frac{1}{15} y + \frac{1}{8} z = \frac{43}{12}$

Bước 1

Move variables to the left and constant terms to the right.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{10}$ và $y$ .

$x + y + z = 32$

$x + \frac{y}{10} + \frac{1}{6} z = \frac{17}{3}$

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{15} y + \frac{1}{8} z = \frac{43}{12}$

Bước 1.1.2

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $z$ .

$x + y + z = 32$

$x + \frac{y}{10} + \frac{z}{6} = \frac{17}{3}$

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{15} y + \frac{1}{8} z = \frac{43}{12}$

$x + y + z = 32$

$x + \frac{y}{10} + \frac{z}{6} = \frac{17}{3}$

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{15} y + \frac{1}{8} z = \frac{43}{12}$

Bước 1.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$x + y + z = 32$

$x + \frac{1}{10} y + \frac{1}{6} z = \frac{17}{3}$

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{15} y + \frac{1}{8} z = \frac{43}{12}$

Bước 1.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$x + y + z = 32$

$x + \frac{1}{10} y + \frac{1}{6} z = \frac{17}{3}$

$\frac{x}{2} + \frac{1}{15} y + \frac{1}{8} z = \frac{43}{12}$

Bước 1.3.2

Kết hợp $\frac{1}{15}$ và $y$ .

$x + y + z = 32$

$x + \frac{1}{10} y + \frac{1}{6} z = \frac{17}{3}$

$\frac{x}{2} + \frac{y}{15} + \frac{1}{8} z = \frac{43}{12}$

Bước 1.3.3

Kết hợp $\frac{1}{8}$ và $z$ .

$x + y + z = 32$

$x + \frac{1}{10} y + \frac{1}{6} z = \frac{17}{3}$

$\frac{x}{2} + \frac{y}{15} + \frac{z}{8} = \frac{43}{12}$

$x + y + z = 32$

$x + \frac{1}{10} y + \frac{1}{6} z = \frac{17}{3}$

$\frac{x}{2} + \frac{y}{15} + \frac{z}{8} = \frac{43}{12}$

Bước 1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$x + y + z = 32$

$x + \frac{1}{10} y + \frac{1}{6} z = \frac{17}{3}$

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{15} y + \frac{1}{8} z = \frac{43}{12}$

$x + y + z = 32$

$x + \frac{1}{10} y + \frac{1}{6} z = \frac{17}{3}$

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{15} y + \frac{1}{8} z = \frac{43}{12}$

Bước 2

Write the system as a matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 32 \\ 1 & \frac{1}{10} & \frac{1}{6} & \frac{17}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{15} & \frac{1}{8} & \frac{43}{12} \end{array}]$

Bước 3

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 32 \\ 1 - 1 & \frac{1}{10} - 1 & \frac{1}{6} - 1 & \frac{17}{3} - 32 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{15} & \frac{1}{8} & \frac{43}{12} \end{array}]$

Bước 3.1.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 32 \\ 0 & - \frac{9}{10} & - \frac{5}{6} & - \frac{79}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{15} & \frac{1}{8} & \frac{43}{12} \end{array}]$

Bước 3.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{1}{2} R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{1}{2} R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 32 \\ 0 & - \frac{9}{10} & - \frac{5}{6} & - \frac{79}{3} \\ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & \frac{1}{15} - \frac{1}{2} \cdot 1 & \frac{1}{8} - \frac{1}{2} \cdot 1 & \frac{43}{12} - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Bước 3.2.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 32 \\ 0 & - \frac{9}{10} & - \frac{5}{6} & - \frac{79}{3} \\ 0 & - \frac{13}{30} & - \frac{3}{8} & - \frac{149}{12} \end{array}]$

Bước 3.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{10}{9}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{10}{9}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 32 \\ - \frac{10}{9} \cdot 0 & - \frac{10}{9} (- \frac{9}{10}) & - \frac{10}{9} (- \frac{5}{6}) & - \frac{10}{9} (- \frac{79}{3}) \\ 0 & - \frac{13}{30} & - \frac{3}{8} & - \frac{149}{12} \end{array}]$

Bước 3.3.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 32 \\ 0 & 1 & \frac{25}{27} & \frac{790}{27} \\ 0 & - \frac{13}{30} & - \frac{3}{8} & - \frac{149}{12} \end{array}]$

Bước 3.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{13}{30} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{13}{30} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 32 \\ 0 & 1 & \frac{25}{27} & \frac{790}{27} \\ 0 + \frac{13}{30} \cdot 0 & - \frac{13}{30} + \frac{13}{30} \cdot 1 & - \frac{3}{8} + \frac{13}{30} \cdot \frac{25}{27} & - \frac{149}{12} + \frac{13}{30} \cdot \frac{790}{27} \end{array}]$

Bước 3.4.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 32 \\ 0 & 1 & \frac{25}{27} & \frac{790}{27} \\ 0 & 0 & \frac{17}{648} & \frac{85}{324} \end{array}]$

Bước 3.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{648}{17}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{648}{17}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 32 \\ 0 & 1 & \frac{25}{27} & \frac{790}{27} \\ \frac{648}{17} \cdot 0 & \frac{648}{17} \cdot 0 & \frac{648}{17} \cdot \frac{17}{648} & \frac{648}{17} \cdot \frac{85}{324} \end{array}]$

Bước 3.5.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 32 \\ 0 & 1 & \frac{25}{27} & \frac{790}{27} \\ 0 & 0 & 1 & 10 \end{array}]$

Bước 3.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{25}{27} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{25}{27} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 32 \\ 0 - \frac{25}{27} \cdot 0 & 1 - \frac{25}{27} \cdot 0 & \frac{25}{27} - \frac{25}{27} \cdot 1 & \frac{790}{27} - \frac{25}{27} \cdot 10 \\ 0 & 0 & 1 & 10 \end{array}]$

Bước 3.6.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 32 \\ 0 & 1 & 0 & 20 \\ 0 & 0 & 1 & 10 \end{array}]$

Bước 3.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 32 - 10 \\ 0 & 1 & 0 & 20 \\ 0 & 0 & 1 & 10 \end{array}]$

Bước 3.7.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 22 \\ 0 & 1 & 0 & 20 \\ 0 & 0 & 1 & 10 \end{array}]$

Bước 3.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 22 - 20 \\ 0 & 1 & 0 & 20 \\ 0 & 0 & 1 & 10 \end{array}]$

Bước 3.8.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 20 \\ 0 & 0 & 1 & 10 \end{array}]$

Bước 4

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 2$

$y = 20$

$z = 10$

Bước 5

The solution is the set of ordered pairs that make the system true.

$(2, 20, 10)$