Toán hữu hạn Ví dụ

$3 [\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 \\ - 1 & 2 & 4 \\ 2 & - 1 & 1 \end{array}]$

Bước 1

Nhân $3$ với mỗi phần tử của ma trận.

$[\begin{array}{c} 3 \cdot 1 & 3 \cdot 3 & 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot - 1 & 3 \cdot 2 & 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 2 & 3 \cdot - 1 & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 2

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $3$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 3 \cdot 3 & 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot - 1 & 3 \cdot 2 & 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 2 & 3 \cdot - 1 & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 2.2

Nhân $3$ với $3$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 9 & 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot - 1 & 3 \cdot 2 & 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 2 & 3 \cdot - 1 & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 2.3

Nhân $3$ với $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 9 & 6 \\ 3 \cdot - 1 & 3 \cdot 2 & 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 2 & 3 \cdot - 1 & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 2.4

Nhân $3$ với $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 9 & 6 \\ - 3 & 3 \cdot 2 & 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 2 & 3 \cdot - 1 & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 2.5

Nhân $3$ với $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 9 & 6 \\ - 3 & 6 & 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 2 & 3 \cdot - 1 & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 2.6

Nhân $3$ với $4$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 9 & 6 \\ - 3 & 6 & 12 \\ 3 \cdot 2 & 3 \cdot - 1 & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 2.7

Nhân $3$ với $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 9 & 6 \\ - 3 & 6 & 12 \\ 6 & 3 \cdot - 1 & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 2.8

Nhân $3$ với $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 9 & 6 \\ - 3 & 6 & 12 \\ 6 & - 3 & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 2.9

Nhân $3$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 9 & 6 \\ - 3 & 6 & 12 \\ 6 & - 3 & 3 \end{array}]$

Bước 3

Find the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Bước 3.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Bước 3.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 12 \\ - 3 & 3 \end{array} |$

Bước 3.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 6 & 12 \\ - 3 & 3 \end{array} |$

Bước 3.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 12 \\ 6 & 3 \end{array} |$

Bước 3.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 9 | \begin{array}{c} - 3 & 12 \\ 6 & 3 \end{array} |$

Bước 3.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 6 \\ 6 & - 3 \end{array} |$

Bước 3.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$6 | \begin{array}{c} - 3 & 6 \\ 6 & - 3 \end{array} |$

Bước 3.1.9

Add the terms together.

$3 | \begin{array}{c} 6 & 12 \\ - 3 & 3 \end{array} | - 9 | \begin{array}{c} - 3 & 12 \\ 6 & 3 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 3 & 6 \\ 6 & - 3 \end{array} |$

Bước 3.2

Tính $| \begin{array}{c} 6 & 12 \\ - 3 & 3 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 (6 \cdot 3 - (- 3 \cdot 12)) - 9 | \begin{array}{c} - 3 & 12 \\ 6 & 3 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 3 & 6 \\ 6 & - 3 \end{array} |$

Bước 3.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Nhân $6$ với $3$ .

$3 (18 - (- 3 \cdot 12)) - 9 | \begin{array}{c} - 3 & 12 \\ 6 & 3 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 3 & 6 \\ 6 & - 3 \end{array} |$

Bước 3.2.2.1.2

Nhân $- (- 3 \cdot 12)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.2.1

Nhân $- 3$ với $12$ .

$3 (18 - - 36) - 9 | \begin{array}{c} - 3 & 12 \\ 6 & 3 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 3 & 6 \\ 6 & - 3 \end{array} |$

Bước 3.2.2.1.2.2

Nhân $- 1$ với $- 36$ .

$3 (18 + 36) - 9 | \begin{array}{c} - 3 & 12 \\ 6 & 3 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 3 & 6 \\ 6 & - 3 \end{array} |$

Bước 3.2.2.2

Cộng $18$ và $36$ .

$3 \cdot 54 - 9 | \begin{array}{c} - 3 & 12 \\ 6 & 3 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 3 & 6 \\ 6 & - 3 \end{array} |$

Bước 3.3

Tính $| \begin{array}{c} - 3 & 12 \\ 6 & 3 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 54 - 9 (- 3 \cdot 3 - 6 \cdot 12) + 6 | \begin{array}{c} - 3 & 6 \\ 6 & - 3 \end{array} |$

Bước 3.3.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Nhân $- 3$ với $3$ .

$3 \cdot 54 - 9 (- 9 - 6 \cdot 12) + 6 | \begin{array}{c} - 3 & 6 \\ 6 & - 3 \end{array} |$

Bước 3.3.2.1.2

Nhân $- 6$ với $12$ .

$3 \cdot 54 - 9 (- 9 - 72) + 6 | \begin{array}{c} - 3 & 6 \\ 6 & - 3 \end{array} |$

Bước 3.3.2.2

Trừ $72$ khỏi $- 9$ .

$3 \cdot 54 - 9 \cdot - 81 + 6 | \begin{array}{c} - 3 & 6 \\ 6 & - 3 \end{array} |$

Bước 3.4

Tính $| \begin{array}{c} - 3 & 6 \\ 6 & - 3 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 54 - 9 \cdot - 81 + 6 (- 3 \cdot - 3 - 6 \cdot 6)$

Bước 3.4.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Nhân $- 3$ với $- 3$ .

$3 \cdot 54 - 9 \cdot - 81 + 6 (9 - 6 \cdot 6)$

Bước 3.4.2.1.2

Nhân $- 6$ với $6$ .

$3 \cdot 54 - 9 \cdot - 81 + 6 (9 - 36)$

Bước 3.4.2.2

Trừ $36$ khỏi $9$ .

$3 \cdot 54 - 9 \cdot - 81 + 6 \cdot - 27$

Bước 3.5

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Nhân $3$ với $54$ .

$162 - 9 \cdot - 81 + 6 \cdot - 27$

Bước 3.5.1.2

Nhân $- 9$ với $- 81$ .

$162 + 729 + 6 \cdot - 27$

Bước 3.5.1.3

Nhân $6$ với $- 27$ .

$162 + 729 - 162$

Bước 3.5.2

Cộng $162$ và $729$ .

$891 - 162$

Bước 3.5.3

Trừ $162$ khỏi $891$ .

$729$

Bước 4

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Bước 5

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 3 & 9 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 6 & 12 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 3 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 6

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{9}{3} & \frac{6}{3} & \frac{1}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} \\ - 3 & 6 & 12 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 3 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 6.1.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ - 3 & 6 & 12 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 3 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 6.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 6 + 3 \cdot 3 & 12 + 3 \cdot 2 & 0 + 3 (\frac{1}{3}) & 1 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 \\ 6 & - 3 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 6.2.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 15 & 18 & 1 & 1 & 0 \\ 6 & - 3 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 6.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 15 & 18 & 1 & 1 & 0 \\ 6 - 6 \cdot 1 & - 3 - 6 \cdot 3 & 3 - 6 \cdot 2 & 0 - 6 (\frac{1}{3}) & 0 - 6 \cdot 0 & 1 - 6 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 6.3.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 15 & 18 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 21 & - 9 & - 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 6.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{15}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{15}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{0}{15} & \frac{15}{15} & \frac{18}{15} & \frac{1}{15} & \frac{1}{15} & \frac{0}{15} \\ 0 & - 21 & - 9 & - 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 6.4.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{6}{5} & \frac{1}{15} & \frac{1}{15} & 0 \\ 0 & - 21 & - 9 & - 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 6.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 21 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 21 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{6}{5} & \frac{1}{15} & \frac{1}{15} & 0 \\ 0 + 21 \cdot 0 & - 21 + 21 \cdot 1 & - 9 + 21 (\frac{6}{5}) & - 2 + 21 (\frac{1}{15}) & 0 + 21 (\frac{1}{15}) & 1 + 21 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 6.5.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{6}{5} & \frac{1}{15} & \frac{1}{15} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{81}{5} & - \frac{3}{5} & \frac{7}{5} & 1 \end{array}]$

Bước 6.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{5}{81}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{5}{81}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{6}{5} & \frac{1}{15} & \frac{1}{15} & 0 \\ \frac{5}{81} \cdot 0 & \frac{5}{81} \cdot 0 & \frac{5}{81} \cdot \frac{81}{5} & \frac{5}{81} (- \frac{3}{5}) & \frac{5}{81} \cdot \frac{7}{5} & \frac{5}{81} \cdot 1 \end{array}]$

Bước 6.6.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{6}{5} & \frac{1}{15} & \frac{1}{15} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{27} & \frac{7}{81} & \frac{5}{81} \end{array}]$

Bước 6.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{6}{5} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{6}{5} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 - \frac{6}{5} \cdot 0 & 1 - \frac{6}{5} \cdot 0 & \frac{6}{5} - \frac{6}{5} \cdot 1 & \frac{1}{15} - \frac{6}{5} (- \frac{1}{27}) & \frac{1}{15} - \frac{6}{5} \cdot \frac{7}{81} & 0 - \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{81} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{27} & \frac{7}{81} & \frac{5}{81} \end{array}]$

Bước 6.7.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{9} & - \frac{1}{27} & - \frac{2}{27} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{27} & \frac{7}{81} & \frac{5}{81} \end{array}]$

Bước 6.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 3 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & \frac{1}{3} - 2 (- \frac{1}{27}) & 0 - 2 (\frac{7}{81}) & 0 - 2 (\frac{5}{81}) \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{9} & - \frac{1}{27} & - \frac{2}{27} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{27} & \frac{7}{81} & \frac{5}{81} \end{array}]$

Bước 6.8.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 & \frac{11}{27} & - \frac{14}{81} & - \frac{10}{81} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{9} & - \frac{1}{27} & - \frac{2}{27} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{27} & \frac{7}{81} & \frac{5}{81} \end{array}]$

Bước 6.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 & \frac{11}{27} - 3 (\frac{1}{9}) & - \frac{14}{81} - 3 (- \frac{1}{27}) & - \frac{10}{81} - 3 (- \frac{2}{27}) \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{9} & - \frac{1}{27} & - \frac{2}{27} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{27} & \frac{7}{81} & \frac{5}{81} \end{array}]$

Bước 6.9.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{2}{27} & - \frac{5}{81} & \frac{8}{81} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{9} & - \frac{1}{27} & - \frac{2}{27} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{27} & \frac{7}{81} & \frac{5}{81} \end{array}]$

Bước 7

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{27} & - \frac{5}{81} & \frac{8}{81} \\ \frac{1}{9} & - \frac{1}{27} & - \frac{2}{27} \\ - \frac{1}{27} & \frac{7}{81} & \frac{5}{81} \end{array}]$