Toán hữu hạn Ví dụ

$[\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}]$

Bước 1

Lập công thức để tìm phương trình đặc trưng $p (λ)$ .

$p (λ) = định thức (A - λ I_{3})$

Bước 2

Ma trận đơn vị cỡ $3$ là ma trận vuông $3 \times 3$ có đường chéo chính gồm các hệ số một và phần còn lại là các hệ số không.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 3

Thay các giá trị đã biết vào $p (λ) = định thức (A - λ I_{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $[\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}]$ bằng $A$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] - λ I_{3})$

Bước 3.2

Thay $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ bằng $I_{3}$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nhân $- λ$ với mỗi phần tử của ma trận.

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.2

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.2.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.3

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.3.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.3.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.4

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.4.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.4.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.6

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.6.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.6.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.7

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.7.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.7.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.8

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.8.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.8.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Bước 4.2

Cộng các phần tử tương ứng với nhau.

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 + 0 & 36 + 0 \\ 27 + 0 & - 3 - λ & 21 + 0 \\ - 26 + 0 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Bước 4.3

Simplify each element.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Cộng $4$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 + 0 \\ 27 + 0 & - 3 - λ & 21 + 0 \\ - 26 + 0 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Bước 4.3.2

Cộng $36$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 \\ 27 + 0 & - 3 - λ & 21 + 0 \\ - 26 + 0 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Bước 4.3.3

Cộng $27$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 \\ 27 & - 3 - λ & 21 + 0 \\ - 26 + 0 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Bước 4.3.4

Cộng $21$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 \\ 27 & - 3 - λ & 21 \\ - 26 + 0 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Bước 4.3.5

Cộng $- 26$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 \\ 27 & - 3 - λ & 21 \\ - 26 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Bước 4.3.6

Cộng $10$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 \\ 27 & - 3 - λ & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 - λ \end{array}]$

Bước 5

Find the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Bước 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Bước 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 - λ & 21 \\ 10 & - 6 - λ \end{array} |$

Bước 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(28 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & 21 \\ 10 & - 6 - λ \end{array} |$

Bước 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} |$

Bước 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} |$

Bước 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Bước 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Bước 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (28 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & 21 \\ 10 & - 6 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Bước 5.2

Tính $| \begin{array}{c} - 3 - λ & 21 \\ 10 & - 6 - λ \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (28 - λ) ((- 3 - λ) (- 6 - λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Bước 5.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Khai triển $(- 3 - λ) (- 6 - λ)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = (28 - λ) (- 3 (- 6 - λ) - λ (- 6 - λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Bước 5.2.2.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = (28 - λ) (- 3 \cdot - 6 - 3 (- λ) - λ (- 6 - λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Bước 5.2.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = (28 - λ) (- 3 \cdot - 6 - 3 (- λ) - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Bước 5.2.2.1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.2.1.1

Nhân $- 3$ với $- 6$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 - 3 (- λ) - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Bước 5.2.2.1.2.1.2

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Bước 5.2.2.1.2.1.3

Nhân $- 6$ với $- 1$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ - λ (- λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Bước 5.2.2.1.2.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Bước 5.2.2.1.2.1.5

Nhân $λ$ với $λ$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.2.1.5.1

Di chuyển $λ$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Bước 5.2.2.1.2.1.5.2

Nhân $λ$ với $λ$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Bước 5.2.2.1.2.1.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ + 1 λ^{2} - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Bước 5.2.2.1.2.1.7

Nhân $λ^{2}$ với $1$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ + λ^{2} - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Bước 5.2.2.1.2.2

Cộng $3 λ$ và $6 λ$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 9 λ + λ^{2} - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Bước 5.2.2.1.3

Nhân $- 10$ với $21$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 9 λ + λ^{2} - 210) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Bước 5.2.2.2

Trừ $210$ khỏi $18$ .

$p (λ) = (28 - λ) (9 λ + λ^{2} - 192) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Bước 5.2.2.3

Sắp xếp lại $9 λ$ và $λ^{2}$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Bước 5.3

Tính $| \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (27 (- 6 - λ) - (- 26 \cdot 21)) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Bước 5.3.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (27 \cdot - 6 + 27 (- λ) - (- 26 \cdot 21)) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Bước 5.3.2.1.2

Nhân $27$ với $- 6$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 162 + 27 (- λ) - (- 26 \cdot 21)) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Bước 5.3.2.1.3

Nhân $- 1$ với $27$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 162 - 27 λ - (- 26 \cdot 21)) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Bước 5.3.2.1.4

Nhân $- (- 26 \cdot 21)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.4.1

Nhân $- 26$ với $21$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 162 - 27 λ - - 546) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Bước 5.3.2.1.4.2

Nhân $- 1$ với $- 546$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 162 - 27 λ + 546) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Bước 5.3.2.2

Cộng $- 162$ và $546$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Bước 5.4

Tính $| \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (27 \cdot 10 - (- 26 (- 3 - λ)))$

Bước 5.4.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Nhân $27$ với $10$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - (- 26 (- 3 - λ)))$

Bước 5.4.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - (- 26 \cdot - 3 - 26 (- λ)))$

Bước 5.4.2.1.3

Nhân $- 26$ với $- 3$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - (78 - 26 (- λ)))$

Bước 5.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $- 26$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - (78 + 26 λ))$

Bước 5.4.2.1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - 1 \cdot 78 - (26 λ))$

Bước 5.4.2.1.6

Nhân $- 1$ với $78$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - 78 - (26 λ))$

Bước 5.4.2.1.7

Nhân $26$ với $- 1$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - 78 - 26 λ)$

Bước 5.4.2.2

Trừ $78$ khỏi $270$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (192 - 26 λ)$

Bước 5.4.2.3

Sắp xếp lại $192$ và $- 26 λ$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Bước 5.5

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.1

Khai triển $(28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$p (λ) = 28 λ^{2} + 28 (9 λ) + 28 \cdot - 192 - λ \cdot λ^{2} - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Bước 5.5.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.2.1

Nhân $9$ với $28$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ + 28 \cdot - 192 - λ \cdot λ^{2} - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Bước 5.5.1.2.2

Nhân $28$ với $- 192$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ \cdot λ^{2} - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Bước 5.5.1.2.3

Nhân $λ$ với $λ^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.2.3.1

Di chuyển $λ^{2}$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - (λ^{2} λ) - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Bước 5.5.1.2.3.2

Nhân $λ^{2}$ với $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.2.3.2.1

Nâng $λ$ lên lũy thừa $1$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Bước 5.5.1.2.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{2 + 1} - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Bước 5.5.1.2.3.3

Cộng $2$ và $1$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Bước 5.5.1.2.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - 1 \cdot 9 λ \cdot λ - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Bước 5.5.1.2.5

Nhân $λ$ với $λ$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.2.5.1

Di chuyển $λ$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - 1 \cdot 9 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Bước 5.5.1.2.5.2

Nhân $λ$ với $λ$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - 1 \cdot 9 λ^{2} - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Bước 5.5.1.2.6

Nhân $- 1$ với $9$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - 9 λ^{2} - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Bước 5.5.1.2.7

Nhân $- 192$ với $- 1$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - 9 λ^{2} + 192 λ - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Bước 5.5.1.3

Trừ $9 λ^{2}$ khỏi $28 λ^{2}$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} + 192 λ - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Bước 5.5.1.4

Cộng $252 λ$ và $192 λ$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Bước 5.5.1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} - 4 (- 27 λ) - 4 \cdot 384 + 36 (- 26 λ + 192)$

Bước 5.5.1.6

Nhân $- 27$ với $- 4$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} + 108 λ - 4 \cdot 384 + 36 (- 26 λ + 192)$

Bước 5.5.1.7

Nhân $- 4$ với $384$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} + 108 λ - 1536 + 36 (- 26 λ + 192)$

Bước 5.5.1.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} + 108 λ - 1536 + 36 (- 26 λ) + 36 \cdot 192$

Bước 5.5.1.9

Nhân $- 26$ với $36$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} + 108 λ - 1536 - 936 λ + 36 \cdot 192$

Bước 5.5.1.10

Nhân $36$ với $192$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} + 108 λ - 1536 - 936 λ + 6912$

Bước 5.5.2

Cộng $444 λ$ và $108 λ$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 552 λ - 5376 - λ^{3} - 1536 - 936 λ + 6912$

Bước 5.5.3

Trừ $936 λ$ khỏi $552 λ$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} - 384 λ - 5376 - λ^{3} - 1536 + 6912$

Bước 5.5.4

Trừ $1536$ khỏi $- 5376$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} - 384 λ - λ^{3} - 6912 + 6912$

Bước 5.5.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $19 λ^{2} - 384 λ - λ^{3} - 6912 + 6912$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.5.1

Cộng $- 6912$ và $6912$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} - 384 λ - λ^{3} + 0$

Bước 5.5.5.2

Cộng $19 λ^{2} - 384 λ - λ^{3}$ và $0$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} - 384 λ - λ^{3}$

Bước 5.5.6

Di chuyển $- 384 λ$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} - λ^{3} - 384 λ$

Bước 5.5.7

Sắp xếp lại $19 λ^{2}$ và $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 19 λ^{2} - 384 λ$

Bước 6

Đặt đa thức đặc trưng bằng $0$ để tìm các trị riêng $λ$ .

$- λ^{3} + 19 λ^{2} - 384 λ = 0$

Bước 7

Giải tìm $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đưa $- λ$ ra ngoài $- λ^{3} + 19 λ^{2} - 384 λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Đưa $- λ$ ra ngoài $- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} + 19 λ^{2} - 384 λ = 0$

Bước 7.1.2

Đưa $- λ$ ra ngoài $19 λ^{2}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 19 λ) - 384 λ = 0$

Bước 7.1.3

Đưa $- λ$ ra ngoài $- 384 λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 19 λ) - λ \cdot 384 = 0$

Bước 7.1.4

Đưa $- λ$ ra ngoài $- λ (λ^{2}) - λ (- 19 λ)$ .

$- λ (λ^{2} - 19 λ) - λ \cdot 384 = 0$

Bước 7.1.5

Đưa $- λ$ ra ngoài $- λ (λ^{2} - 19 λ) - λ (384)$ .

$- λ (λ^{2} - 19 λ + 384) = 0$

Bước 7.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$λ = 0$

$λ^{2} - 19 λ + 384 = 0$

Bước 7.3

Đặt $λ$ bằng với $0$ .

$λ = 0$

Bước 7.4

Đặt $λ^{2} - 19 λ + 384$ bằng $0$ và giải tìm $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Đặt $λ^{2} - 19 λ + 384$ bằng với $0$ .

$λ^{2} - 19 λ + 384 = 0$

Bước 7.4.2

Giải $λ^{2} - 19 λ + 384 = 0$ để tìm $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 7.4.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 19$ , và $c = 384$ vào công thức bậc hai và giải tìm $λ$ .

$\frac{19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 384)}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.3.1.1

Nâng $- 19$ lên lũy thừa $2$ .

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 384}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 384$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 384}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $384$ .

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 1536}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.2.3.1.3

Trừ $1536$ khỏi $361$ .

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{- 1175}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.2.3.1.4

Viết lại $- 1175$ ở dạng $- 1 (1175)$ .

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1175}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (1175)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1175}$ .

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1175}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$λ = \frac{19 \pm i \cdot \sqrt{1175}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.2.3.1.7

Viết lại $1175$ ở dạng $5^{2} \cdot 47$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.3.1.7.1

Đưa $25$ ra ngoài $1175$ .

$λ = \frac{19 \pm i \cdot \sqrt{25 (47)}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.2.3.1.7.2

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$λ = \frac{19 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 47}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.2.3.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$λ = \frac{19 \pm i \cdot (5 \sqrt{47})}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.2.3.1.9

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $i$ .

$λ = \frac{19 \pm 5 i \sqrt{47}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.4.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$λ = \frac{19 \pm 5 i \sqrt{47}}{2}$

Bước 7.4.2.4

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$λ = \frac{19 + 5 i \sqrt{47}}{2}, \frac{19 - 5 i \sqrt{47}}{2}$

Bước 7.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- λ (λ^{2} - 19 λ + 384) = 0$ đúng.

$λ = 0, \frac{19 + 5 i \sqrt{47}}{2}, \frac{19 - 5 i \sqrt{47}}{2}$