Toán hữu hạn Ví dụ

$2$ , $6$ , $7$ , $8$ , $11$ , $11$ , $11$ , $12$ , $12$ , $13$ , $13$ , $14$

Bước 1

Tìm giá trị trung bình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giá trị trung bình của một tập hợp số là tổng chia cho số lượng các số hạng.

$\overline{x} = \frac{2 + 6 + 7 + 8 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Bước 1.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cộng $2$ và $6$ .

$\overline{x} = \frac{8 + 7 + 8 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Bước 1.2.2

Cộng $8$ và $7$ .

$\overline{x} = \frac{15 + 8 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Bước 1.2.3

Cộng $15$ và $8$ .

$\overline{x} = \frac{23 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Bước 1.2.4

Cộng $23$ và $11$ .

$\overline{x} = \frac{34 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Bước 1.2.5

Cộng $34$ và $11$ .

$\overline{x} = \frac{45 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Bước 1.2.6

Cộng $45$ và $11$ .

$\overline{x} = \frac{56 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Bước 1.2.7

Cộng $56$ và $12$ .

$\overline{x} = \frac{68 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Bước 1.2.8

Cộng $68$ và $12$ .

$\overline{x} = \frac{80 + 13 + 13 + 14}{12}$

Bước 1.2.9

Cộng $80$ và $13$ .

$\overline{x} = \frac{93 + 13 + 14}{12}$

Bước 1.2.10

Cộng $93$ và $13$ .

$\overline{x} = \frac{106 + 14}{12}$

Bước 1.2.11

Cộng $106$ và $14$ .

$\overline{x} = \frac{120}{12}$

Bước 1.3

Chia $120$ cho $12$ .

$\overline{x} = 10$

Bước 2

Rút gọn từng giá trị trong danh sách.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Quy đổi $2$ thành một giá trị thập phân.

$2$

Bước 2.2

Quy đổi $6$ thành một giá trị thập phân.

$6$

Bước 2.3

Quy đổi $7$ thành một giá trị thập phân.

$7$

Bước 2.4

Quy đổi $8$ thành một giá trị thập phân.

$8$

Bước 2.5

Quy đổi $11$ thành một giá trị thập phân.

$11$

Bước 2.6

Quy đổi $12$ thành một giá trị thập phân.

$12$

Bước 2.7

Quy đổi $13$ thành một giá trị thập phân.

$13$

Bước 2.8

Quy đổi $14$ thành một giá trị thập phân.

$14$

Bước 2.9

Các giá trị rút gọn là $2, 6, 7, 8, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14$ .

$2, 6, 7, 8, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14$

Bước 3

Lập công thức cho độ lệch chuẩn mẫu. Độ lệch chuẩn của một tập hợp các giá trị là đại lượng đo độ phân tán của các giá trị của tập hợp đó.

$s = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\frac{{(x_{i} - x_{a v g})}^{2}}{n - 1}}$

Bước 4

Lập công thức cho độ lệch chuẩn cho tập hợp các số này.

$s = \sqrt{\frac{{(2 - 10)}^{2} + {(6 - 10)}^{2} + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $10$ khỏi $2$ .

$s = \sqrt{\frac{{(- 8)}^{2} + {(6 - 10)}^{2} + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Bước 5.2

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + {(6 - 10)}^{2} + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Bước 5.3

Trừ $10$ khỏi $6$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + {(- 4)}^{2} + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Bước 5.4

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Bước 5.5

Trừ $10$ khỏi $7$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + {(- 3)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Bước 5.6

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Bước 5.7

Trừ $10$ khỏi $8$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + {(- 2)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Bước 5.8

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Bước 5.9

Trừ $10$ khỏi $11$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Bước 5.10

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Bước 5.11

Trừ $10$ khỏi $11$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Bước 5.12

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Bước 5.13

Trừ $10$ khỏi $11$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Bước 5.14

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Bước 5.15

Trừ $10$ khỏi $12$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 2^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Bước 5.16

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Bước 5.17

Trừ $10$ khỏi $12$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 2^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Bước 5.18

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Bước 5.19

Trừ $10$ khỏi $13$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 3^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Bước 5.20

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Bước 5.21

Trừ $10$ khỏi $13$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 3^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Bước 5.22

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Bước 5.23

Trừ $10$ khỏi $14$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 4^{2}}{12 - 1}}$

Bước 5.24

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Bước 5.25

Cộng $64$ và $16$ .

$s = \sqrt{\frac{80 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Bước 5.26

Cộng $80$ và $9$ .

$s = \sqrt{\frac{89 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Bước 5.27

Cộng $89$ và $4$ .

$s = \sqrt{\frac{93 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Bước 5.28

Cộng $93$ và $1$ .

$s = \sqrt{\frac{94 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Bước 5.29

Cộng $94$ và $1$ .

$s = \sqrt{\frac{95 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Bước 5.30

Cộng $95$ và $1$ .

$s = \sqrt{\frac{96 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Bước 5.31

Cộng $96$ và $4$ .

$s = \sqrt{\frac{100 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Bước 5.32

Cộng $100$ và $4$ .

$s = \sqrt{\frac{104 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Bước 5.33

Cộng $104$ và $9$ .

$s = \sqrt{\frac{113 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Bước 5.34

Cộng $113$ và $9$ .

$s = \sqrt{\frac{122 + 16}{12 - 1}}$

Bước 5.35

Cộng $122$ và $16$ .

$s = \sqrt{\frac{138}{12 - 1}}$

Bước 5.36

Trừ $1$ khỏi $12$ .

$s = \sqrt{\frac{138}{11}}$

Bước 5.37

Viết lại $\sqrt{\frac{138}{11}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}}$ .

$s = \frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}}$

Bước 5.38

Nhân $\frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}}$ với $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$s = \frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

Bước 5.39

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.39.1

Nhân $\frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}}$ với $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Bước 5.39.2

Nâng $\sqrt{11}$ lên lũy thừa $1$ .

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Bước 5.39.3

Nâng $\sqrt{11}$ lên lũy thừa $1$ .

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Bước 5.39.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

Bước 5.39.5

Cộng $1$ và $1$ .

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}}$

Bước 5.39.6

Viết lại ${\sqrt{11}}^{2}$ ở dạng $11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.39.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{11}$ ở dạng $11^{\frac{1}{2}}$ .

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 5.39.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 5.39.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.39.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.39.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.39.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11}$

Bước 5.39.6.5

Tính số mũ.

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11}$

Bước 5.40

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.40.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$s = \frac{\sqrt{138 \cdot 11}}{11}$

Bước 5.40.2

Nhân $138$ với $11$ .

$s = \frac{\sqrt{1518}}{11}$

Bước 6

Độ lệch chuẩn nên được làm tròn đến một vị trí thập phân nhiều hơn so với dữ liệu gốc. Nếu dữ liệu gốc bị trộn lẫn, làm tròn đến một vị trí thập phân nhiều hơn độ chính xác thấp nhất.

$3.5$