Toán hữu hạn Ví dụ

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 0 & 0.353 \\ 1 & 0.237 \\ 2 & 0.203 \\ 3 & 0.113 \\ 4 & 0.094 \\ 5 & 0 \\ 6 & 0 \end{array}$

Bước 1

Chứng minh rằng bảng đã cho thỏa mãn hai tính chất cần thiết cho một phân phối xác suất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Một biến ngẫu nhiên rời rạc $x$ có giá trị là một tập hợp các giá trị riêng biệt (chẳng hạn như $0$ , $1$ , $2$ ...). Phân phối xác suất của nó gán xác suất $P (x)$ cho mỗi giá trị $x$ có thể có. Đối với mỗi $x$ , xác suất $P (x)$ nằm trong khoảng $0$ và bao gồm $1$ và tổng các xác suất cho tất cả các giá trị $x$ có thể có bằng $1$ .

1. với mỗi $x$ , $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Bước 1.2

$0.353$ nằm giữa $0$ và bao gồm $1$ , thỏa tính chất thứ nhất của phân phối xác suất.

$0.353$ nằm giữa $0$ và bao gồm $1$

Bước 1.3

$0.237$ nằm giữa $0$ và bao gồm $1$ , thỏa tính chất thứ nhất của phân phối xác suất.

$0.237$ nằm giữa $0$ và bao gồm $1$

Bước 1.4

$0.203$ nằm giữa $0$ và bao gồm $1$ , thỏa tính chất thứ nhất của phân phối xác suất.

$0.203$ nằm giữa $0$ và bao gồm $1$

Bước 1.5

$0.113$ nằm giữa $0$ và bao gồm $1$ , thỏa tính chất thứ nhất của phân phối xác suất.

$0.113$ nằm giữa $0$ và bao gồm $1$

Bước 1.6

$0.094$ nằm giữa $0$ và bao gồm $1$ , thỏa tính chất thứ nhất của phân phối xác suất.

$0.094$ nằm giữa $0$ và bao gồm $1$

Bước 1.7

$0$ nằm giữa $0$ và bao gồm $1$ , thỏa tính chất thứ nhất của phân phối xác suất.

$0$ nằm giữa $0$ và bao gồm $1$

Bước 1.8

với mỗi $x$ , xác suất $P (x)$ nằm giữa $0$ và bao gồm $1$ , thỏa tính chất đầu tiên của phân phối xác suất.

$0 \leq P (x) \leq 1$ cho tất cả các giá trị của x

Bước 1.9

Tìm tổng của xác suất cho tất cả các giá trị $x$ có thể có.

$0.353 + 0.237 + 0.203 + 0.113 + 0.094 + 0 + 0$

Bước 1.10

Tổng xác suất của tất cả các giá trị $x$ có thể có là $0.353 + 0.237 + 0.203 + 0.113 + 0.094 + 0 + 0 = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.1

Cộng $0.353$ và $0.237$ .

$0.59 + 0.203 + 0.113 + 0.094 + 0 + 0$

Bước 1.10.2

Cộng $0.59$ và $0.203$ .

$0.793 + 0.113 + 0.094 + 0 + 0$

Bước 1.10.3

Cộng $0.793$ và $0.113$ .

$0.906 + 0.094 + 0 + 0$

Bước 1.10.4

Cộng $0.906$ và $0.094$ .

$1 + 0 + 0$

Bước 1.10.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1 + 0$

Bước 1.10.6

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 1.11

Đối với mỗi $x$ , xác suất của $P (x)$ nằm ở giữa $0$ và bao gồm $1$ . Ngoài ra, tổng xác suất của tất cả $x$ có thể có bằng $1$ , có nghĩa là bảng thỏa hai tính chất của một phân phối xác suất.

Bảng thỏa hai tính chất của một phân phối xác suất:

Tính chất 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ đối với tất cả các giá trị $x$

Tính chất 2: $0.353 + 0.237 + 0.203 + 0.113 + 0.094 + 0 + 0 = 1$

Bảng thỏa hai tính chất của một phân phối xác suất:

Tính chất 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ đối với tất cả các giá trị $x$

Tính chất 2: $0.353 + 0.237 + 0.203 + 0.113 + 0.094 + 0 + 0 = 1$

Bước 2

Giá trị trung bình kỳ vọng của một phân phối là giá trị được kỳ vọng nếu các phép thử của phân phối có thể tiếp tục vô hạn. Nó được tính bằng cách lấy từng giá trị nhân với xác suất rời rạc của nó.

$0 \cdot 0.353 + 1 \cdot 0.237 + 2 \cdot 0.203 + 3 \cdot 0.113 + 4 \cdot 0.094 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 0$

Bước 3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $0$ với $0.353$ .

$0 + 1 \cdot 0.237 + 2 \cdot 0.203 + 3 \cdot 0.113 + 4 \cdot 0.094 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 0$

Bước 3.2

Nhân $0.237$ với $1$ .

$0 + 0.237 + 2 \cdot 0.203 + 3 \cdot 0.113 + 4 \cdot 0.094 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 0$

Bước 3.3

Nhân $2$ với $0.203$ .

$0 + 0.237 + 0.406 + 3 \cdot 0.113 + 4 \cdot 0.094 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 0$

Bước 3.4

Nhân $3$ với $0.113$ .

$0 + 0.237 + 0.406 + 0.339 + 4 \cdot 0.094 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 0$

Bước 3.5

Nhân $4$ với $0.094$ .

$0 + 0.237 + 0.406 + 0.339 + 0.376 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 0$

Bước 3.6

Nhân $5$ với $0$ .

$0 + 0.237 + 0.406 + 0.339 + 0.376 + 0 + 6 \cdot 0$

Bước 3.7

Nhân $6$ với $0$ .

$0 + 0.237 + 0.406 + 0.339 + 0.376 + 0 + 0$

Bước 4

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Cộng $0$ và $0.237$ .

$0.237 + 0.406 + 0.339 + 0.376 + 0 + 0$

Bước 4.2

Cộng $0.237$ và $0.406$ .

$0.643 + 0.339 + 0.376 + 0 + 0$

Bước 4.3

Cộng $0.643$ và $0.339$ .

$0.982 + 0.376 + 0 + 0$

Bước 4.4

Cộng $0.982$ và $0.376$ .

$1.358 + 0 + 0$

Bước 4.5

Cộng $1.358$ và $0$ .

$1.358 + 0$

Bước 4.6

Cộng $1.358$ và $0$ .

$1.358$

Bước 5

Độ lệch chuẩn của một phân phối là thước đo độ phân tán của các giá trị và bằng căn bậc hai của phương sai.

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

Bước 6

Điền vào các giá trị đã biết.

$\sqrt{{(0 - (1.358))}^{2} \cdot 0.353 + {(1 - (1.358))}^{2} \cdot 0.237 + {(2 - (1.358))}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Bước 7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $1.358$ .

$\sqrt{{(0 - 1.358)}^{2} \cdot 0.353 + {(1 - (1.358))}^{2} \cdot 0.237 + {(2 - (1.358))}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Bước 7.2

Trừ $1.358$ khỏi $0$ .

$\sqrt{{(- 1.358)}^{2} \cdot 0.353 + {(1 - (1.358))}^{2} \cdot 0.237 + {(2 - (1.358))}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Bước 7.3

Nâng $- 1.358$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{1.844164 \cdot 0.353 + {(1 - (1.358))}^{2} \cdot 0.237 + {(2 - (1.358))}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Bước 7.4

Nhân $1.844164$ với $0.353$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + {(1 - (1.358))}^{2} \cdot 0.237 + {(2 - (1.358))}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Bước 7.5

Nhân $- 1$ với $1.358$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + {(1 - 1.358)}^{2} \cdot 0.237 + {(2 - (1.358))}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Bước 7.6

Trừ $1.358$ khỏi $1$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + {(- 0.358)}^{2} \cdot 0.237 + {(2 - (1.358))}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Bước 7.7

Nâng $- 0.358$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.128164 \cdot 0.237 + {(2 - (1.358))}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Bước 7.8

Nhân $0.128164$ với $0.237$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + {(2 - (1.358))}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Bước 7.9

Nhân $- 1$ với $1.358$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + {(2 - 1.358)}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Bước 7.10

Trừ $1.358$ khỏi $2$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + {0.642}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Bước 7.11

Nâng $0.642$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.412164 \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Bước 7.12

Nhân $0.412164$ với $0.203$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Bước 7.13

Nhân $- 1$ với $1.358$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + {(3 - 1.358)}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Bước 7.14

Trừ $1.358$ khỏi $3$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + {1.642}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Bước 7.15

Nâng $1.642$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 2.696164 \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Bước 7.16

Nhân $2.696164$ với $0.113$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Bước 7.17

Nhân $- 1$ với $1.358$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + {(4 - 1.358)}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Bước 7.18

Trừ $1.358$ khỏi $4$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + {2.642}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Bước 7.19

Nâng $2.642$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 6.980164 \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Bước 7.20

Nhân $6.980164$ với $0.094$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Bước 7.21

Nhân $- 1$ với $1.358$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + {(5 - 1.358)}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Bước 7.22

Trừ $1.358$ khỏi $5$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + {3.642}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Bước 7.23

Nâng $3.642$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + 13.264164 \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Bước 7.24

Nhân $13.264164$ với $0$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Bước 7.25

Nhân $- 1$ với $1.358$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + 0 + {(6 - 1.358)}^{2} \cdot 0}$

Bước 7.26

Trừ $1.358$ khỏi $6$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + 0 + {4.642}^{2} \cdot 0}$

Bước 7.27

Nâng $4.642$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + 0 + 21.548164 \cdot 0}$

Bước 7.28

Nhân $21.548164$ với $0$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + 0 + 0}$

Bước 7.29

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.29.1

Cộng $0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + 0$ và $0$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + 0}$

Bước 7.29.2

Cộng $0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541$ và $0$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541}$

Bước 7.30

Cộng $0.650\overline{98}$ và $0.03037486$ .

$\sqrt{0.68136476 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541}$

Bước 7.31

Cộng $0.68136476$ và $0.08366929$ .

$\sqrt{0.76503405 + 0.30466653 + 0.65613541}$

Bước 7.32

Cộng $0.76503405$ và $0.30466653$ .

$\sqrt{1.06970058 + 0.65613541}$

Bước 7.33

Cộng $1.06970058$ và $0.65613541$ .

$\sqrt{1.725836}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\sqrt{1.725836}$

Dạng thập phân:

$1.31371077 \dots$