Toán hữu hạn Ví dụ

$\begin{array}{c} Class & Frequency \\ 90 - 99 & 4 \\ 80 - 89 & 6 \\ 70 - 79 & 4 \\ 60 - 69 & 3 \\ 50 - 59 & 2 \\ 40 - 49 & 1 \end{array}$

Bước 1

Sắp xếp lại các nhóm với tần số liên quan của chúng theo thứ tự tăng dần (số thấp nhất đến cao nhất), là cách phổ biến nhất.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) \\ 40 - 49 & 1 \\ 50 - 59 & 2 \\ 60 - 69 & 3 \\ 70 - 79 & 4 \\ 80 - 89 & 6 \\ 90 - 99 & 4 \end{array}$

Bước 2

Tìm trung điểm $M$ cho mỗi nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Giới hạn dưới cho mỗi nhóm là giá trị nhỏ nhất trong nhóm đó. Mặt khác, giới hạn trên cho mỗi nhóm là giá trị lớn nhất trong nhóm đó.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits \\ 40 - 49 & 1 & 40 & 49 \\ 50 - 59 & 2 & 50 & 59 \\ 60 - 69 & 3 & 60 & 69 \\ 70 - 79 & 4 & 70 & 79 \\ 80 - 89 & 6 & 80 & 89 \\ 90 - 99 & 4 & 90 & 99 \end{array}$

Bước 2.2

Trung điểm của nhóm là giới hạn dưới của nhóm cộng với giới hạn trên của nhóm chia cho $2$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 40 - 49 & 1 & 40 & 49 & \frac{40 + 49}{2} \\ 50 - 59 & 2 & 50 & 59 & \frac{50 + 59}{2} \\ 60 - 69 & 3 & 60 & 69 & \frac{60 + 69}{2} \\ 70 - 79 & 4 & 70 & 79 & \frac{70 + 79}{2} \\ 80 - 89 & 6 & 80 & 89 & \frac{80 + 89}{2} \\ 90 - 99 & 4 & 90 & 99 & \frac{90 + 99}{2} \end{array}$

Bước 2.3

Rút gọn tất cả cột trung điểm.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 40 - 49 & 1 & 40 & 49 & 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 50 & 59 & 54.5 \\ 60 - 69 & 3 & 60 & 69 & 64.5 \\ 70 - 79 & 4 & 70 & 79 & 74.5 \\ 80 - 89 & 6 & 80 & 89 & 84.5 \\ 90 - 99 & 4 & 90 & 99 & 94.5 \end{array}$

Bước 2.4

Cộng cột chứa các trung điểm vào bảng ban đầu.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 \end{array}$

Bước 3

Tính bình phương của trung điểm của mỗi nhóm $M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & {44.5}^{2} \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & {54.5}^{2} \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & {64.5}^{2} \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & {74.5}^{2} \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & {84.5}^{2} \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & {94.5}^{2} \end{array}$

Bước 4

Rút gọn cột $M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1980.25 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2970.25 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 4160.25 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 5550.25 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 7140.25 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 8930.25 \end{array}$

Bước 5

Nhân mỗi trung điểm bình phương với tần số của nó $f$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1980.25 & 1 \cdot 1980.25 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2970.25 & 2 \cdot 2970.25 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 4160.25 & 3 \cdot 4160.25 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 5550.25 & 4 \cdot 5550.25 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 7140.25 & 6 \cdot 7140.25 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 8930.25 & 4 \cdot 8930.25 \end{array}$

Bước 6

Rút gọn cột $f \cdot M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1980.25 & 1980.25 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2970.25 & 5940.5 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 4160.25 & 12480.75 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 5550.25 & 22201 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 7140.25 & 42841.5 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 8930.25 & 35721 \end{array}$

Bước 7

Tìm tổng của tất cả các tần số. Trong trường hợp này, tổng của tất cả các tần số là $n = 1, 2, 3, 4, 6, 4 = 20$ .

$\sum_{}^{} f = n = 20$

Bước 8

Tìm tổng của cột $f \cdot M^{2}$ . Trong trường hợp này, $1980.25 + 5940.5 + 12480.75 + 22201 + 42841.5 + 35721 = 121165$ .

$\sum_{}^{} f \cdot M^{2} = 121165$

Bước 9

Tìm giá trị trung bình $μ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Reorder the classes with their related frequencies (ƒ) in an ascending order (lowest number to highest), which is the most common.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) \\ 40 - 49 & 1 \\ 50 - 59 & 2 \\ 60 - 69 & 3 \\ 70 - 79 & 4 \\ 80 - 89 & 6 \\ 90 - 99 & 4 \end{array}$

Bước 9.2

Tìm trung điểm $M$ cho mỗi nhóm.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 \end{array}$

Bước 9.3

Nhân tần số của mỗi nhóm với điểm giữa của nhóm.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1 \cdot 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2 \cdot 54.5 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 3 \cdot 64.5 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 4 \cdot 74.5 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 6 \cdot 84.5 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 4 \cdot 94.5 \end{array}$

Bước 9.4

Rút gọn cột $f \cdot M$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 109 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 193.5 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 298 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 507 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 378 \end{array}$

Bước 9.5

Cộng các giá trị trong cột $f \cdot M$ .

$44.5 + 109 + 193.5 + 298 + 507 + 378 = 1530$

Bước 9.6

Cộng các giá trị trong cột tần số.

$n = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 4 = 20$

Bước 9.7

Giá trị trung bình (mu) là tổng của $f \cdot M$ chia cho $n$ , cũng chính là tổng của tần số.

$μ = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M}{\sum_{}^{} f}$

Bước 9.8

Giá trị trung bình là tổng của tích các trung điểm với các tần số rồi chia cho tổng tần số.

$μ = \frac{1530}{20}$

Bước 9.9

Rút gọn vế phải của $μ = \frac{1530}{20}$ .

$76.5$

Bước 10

Phương trình cho độ lệch chuẩn là $S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$

Bước 11

Thay các giá trị đã tính vào $S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

$S^{2} = \frac{121165 - 20 {(76.5)}^{2}}{20 - 1}$

Bước 12

Rút gọn vế phải của $S^{2} = \frac{121165 - 20 {(76.5)}^{2}}{20 - 1}$ để có được phương sai $S^{2} = 216.84210526$ .

$216.84210526$