Giải tích Ví dụ

$\int \frac{3 x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 8}} d x$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 8}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = x^{3} + 8$ . Sau đó $d u = 3 x^{2} d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = x^{3} + 8$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x^{3} + 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + 8$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]$

Bước 2.1.4

Vì $8$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $8$ đối với $x$ là $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Bước 2.1.5

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$3 x^{2}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Bước 3.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$3 \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$\frac{3}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 5.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 5.1.3

Nhân $\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$ với $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 5.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 5.2.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 5.2.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 5.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 5.2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3} + 8$ .

$2 {(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{2}} + C$