Giải tích Ví dụ

$y = \frac{\sin (x) + \cos (x)}{e^{x}}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sin (x) + \cos (x)}{e^{x}})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ và $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Bước 3.2

Tính đạo hàm bằng quy tắc tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{x})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Bước 3.2.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (x) + \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3.4

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 3.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 3.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 3.6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.4.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.4.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $e^{x} \cos (x)$ và $- \cos (x) e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - e^{x} \cos (x)}{e^{2 x}}$

Bước 3.6.4.1.2

Trừ $e^{x} \cos (x)$ khỏi $e^{x} \cos (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} + 0}{e^{2 x}}$

Bước 3.6.4.1.3

Cộng $e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x}$ và $0$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 3.6.4.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{- e^{x} \sin (x) - \sin (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 3.6.4.3

Trừ $\sin (x) e^{x}$ khỏi $- e^{x} \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.4.3.1

Di chuyển $\sin (x)$ .

$\frac{- e^{x} \sin (x) - 1 e^{x} \sin (x)}{e^{2 x}}$

Bước 3.6.4.3.2

Trừ $e^{x} \sin (x)$ khỏi $- e^{x} \sin (x)$ .

$\frac{- 2 e^{x} \sin (x)}{e^{2 x}}$

Bước 3.6.5

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{x}$ và $e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.5.1

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $- 2 e^{x} \sin (x)$ .

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x}}$

Bước 3.6.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.5.2.1

Nhân với $1$ .

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Bước 3.6.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Bước 3.6.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 2 e^{- x} \sin (x)}{1}$

Bước 3.6.5.2.4

Chia $- 2 e^{- x} \sin (x)$ cho $1$ .

$- 2 e^{- x} \sin (x)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = - 2 e^{- x} \sin (x)$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 e^{- x} \sin (x)$