Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{2} + x - 12$ ; $[0, 24]$

Bước 1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 2

$f (x)$ liên tục trên $[0, 24]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\int_{0}^{24} x^{2} + x - 12 d x)$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\int_{0}^{24} x^{2} d x + \int_{0}^{24} x d x + \int_{0}^{24} - 12 d x)$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{24} + \int_{0}^{24} x d x + \int_{0}^{24} - 12 d x)$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{24} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24} + \int_{0}^{24} - 12 d x)$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{24} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24} + - 12 x]_{0}^{24})$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{24}$ và $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24} + - 12 x]_{0}^{24})$

Bước 9.1.2

Kết hợp $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24}$ và $- 12 x]_{0}^{24}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 12 x]_{0}^{24})$

Bước 9.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Tính $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 12 x$ tại $24$ và tại $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} ((\frac{1}{3} \cdot 24^{3} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Bước 9.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Nâng $24$ lên lũy thừa $3$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} \cdot 13824 + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Bước 9.2.2.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $13824$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{13824}{3} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Bước 9.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $13824$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $13824$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{3 \cdot 4608}{3} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Bước 9.2.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{3 \cdot 4608}{3 (1)} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Bước 9.2.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{3 \cdot 4608}{3 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Bước 9.2.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{4608}{1} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Bước 9.2.2.3.2.4

Chia $4608$ cho $1$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Bước 9.2.2.4

Nâng $24$ lên lũy thừa $2$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{1}{2} \cdot 576 - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Bước 9.2.2.5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $576$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{576}{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Bước 9.2.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $576$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $576$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{2 \cdot 288}{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Bước 9.2.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{2 \cdot 288}{2 (1)} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Bước 9.2.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{2 \cdot 288}{2 \cdot 1} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Bước 9.2.2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{288}{1} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Bước 9.2.2.6.2.4

Chia $288$ cho $1$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + 288 - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Bước 9.2.2.7

Cộng $4608$ và $288$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4896 - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Bước 9.2.2.8

Nhân $- 12$ với $24$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4896 - 288 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Bước 9.2.2.9

Trừ $288$ khỏi $4896$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Bước 9.2.2.10

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Bước 9.2.2.11

Nhân $\frac{1}{3}$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Bước 9.2.2.12

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0 - 12 \cdot 0))$

Bước 9.2.2.13

Nhân $\frac{1}{2}$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 + 0 - 12 \cdot 0))$

Bước 9.2.2.14

Cộng $0$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 - 12 \cdot 0))$

Bước 9.2.2.15

Nhân $- 12$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 + 0))$

Bước 9.2.2.16

Cộng $0$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - 0)$

Bước 9.2.2.17

Nhân $- 1$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + 0)$

Bước 9.2.2.18

Cộng $4608$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608)$

Bước 10

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 + 0} \cdot 4608$

Bước 10.2

Cộng $24$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24} \cdot 4608$

Bước 11

Triệt tiêu thừa số chung $24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Đưa $24$ ra ngoài $4608$ .

$A (x) = \frac{1}{24} \cdot (24 (192))$

Bước 11.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{24} \cdot (24 \cdot 192)$

Bước 11.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = 192$

Bước 12