Giải tích Ví dụ

$\tan (x)$

Bước 1

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = \sec^{2} (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sec (x)$ .

$2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

Bước 2.3

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

Bước 2.4

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

Bước 2.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

Bước 2.6

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sec^{2} (x)$ và $g (x) = \tan (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

Bước 3.4

Nhân $\sec^{2} (x)$ với $\sec^{2} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

Bước 3.4.2

Cộng $2$ và $2$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sec (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Bước 3.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Bước 3.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sec (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Bước 3.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\tan (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \cdot \tan (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 3.7

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Bước 3.8

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x) \sec (x))$

Bước 3.9

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x) \sec (x))$

Bước 3.10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (\sec^{4} (x) + 2 {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) \sec (x))$

Bước 3.11

Cộng $1$ và $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec (x) \sec (x))$

Bước 3.12

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec (x)))$

Bước 3.13

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)))$

Bước 3.14

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 1})$

Bước 3.15

Cộng $1$ và $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Bước 3.16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \sec^{4} (x) + 2 (2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Bước 3.16.2

Nhân $2$ với $2$ .

$2 \sec^{4} (x) + 4 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Bước 3.16.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f''' (x) = 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x)$