Giải tích Ví dụ

cos (2 y)

$\cos (2 y)$

Bước 1

Viết

cos (2 y)

$\cos (2 y)$ ở dạng một hàm số.

f (y) = cos (2 y)

$f (y) = \cos (2 y)$

Bước 2

Có thể tìm hàm số

F (y)

$F (y)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm

f (y)

$f (y)$ .

F (y) = \int f (y) d y

$F (y) = \int f (y) d y$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

F (y) = \int cos (2 y) d y

$F (y) = \int \cos (2 y) d y$

Bước 4

Giả sử

u = 2 y

$u = 2 y$ . Sau đó

d u = 2 d y

$d u = 2 d y$ , nên

\frac{1}{2} d u = d y

$\frac{1}{2} d u = d y$ . Viết lại bằng

u

$u$ và

d

$d$

u

$u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt

u = 2 y

$u = 2 y$ . Tìm

\frac{d u}{d y}

$\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm

2 y

$2 y$ .

\frac{d}{d y} [2 y]

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Bước 4.1.2

Vì

2

$2$ không đổi đối với

y

$y$ , nên đạo hàm của

2 y

$2 y$ đối với

y

$y$ là

2 \frac{d}{d y} [y]

$2 \frac{d}{d y} [y]$ .

2 \frac{d}{d y} [y]

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ trong đó

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân

2

$2$ với

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng

u

$u$ và

d u

$d u$ .

\int cos (u) \frac{1}{2} d u

$\int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

\int cos (u) \frac{1}{2} d u

$\int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Bước 5

Kết hợp

cos (u)

$\cos (u)$ và

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\int \frac{cos (u)}{2} d u

$\int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Bước 6

Vì

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ không đổi đối với

u

$u$ , hãy di chuyển

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

\frac{1}{2} \int cos (u) d u

$\frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Bước 7

Tích phân của

cos (u)

$\cos (u)$ đối với

u

$u$ là

sin (u)

$\sin (u)$ .

\frac{1}{2} (sin (u) + C)

$\frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

Bước 8

Rút gọn.

\frac{1}{2} sin (u) + C

$\frac{1}{2} \sin (u) + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của

u

$u$ với

2 y

$2 y$ .

\frac{1}{2} sin (2 y) + C

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C$

Bước 10

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số

f (y) = cos (2 y)

$f (y) = \cos (2 y)$ .

F (y) =

$F (y) =$

\frac{1}{2} sin (2 y) + C

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x^{2} & \frac{1}{2} \sqrt{π} & \int x d x \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$