Giải tích Ví dụ

$y = f (x)$

Bước 1

Viết $y = f (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = f (x)$

Bước 2

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $f (x)$ là $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $d$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{d f}{d x})$

Bước 3.1.2

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{f}{x})$

Bước 3.2

Vì $f$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{f}{x}$ đối với $x$ là $f \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = f \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = f \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f'' (x) = f (- x^{- 2})$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = f (- \frac{1}{x^{2}})$

Bước 3.5.2

Kết hợp $f$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{f}{x^{2}}$

Bước 4

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\frac{d f}{d x} = 0$

Bước 5

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $f (x)$ là $\frac{d f}{d x}$ .

$f' (x) = \frac{d f}{d x}$

Bước 5.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x}$

Bước 6

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{d f}{d x} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{d f}{d x} = 0$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung $d$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d f}{d x} = 0$

Bước 6.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{f}{x} = 0$

Bước 6.3

Nhân cả hai vế của phương trình với $x$ .

$f = x (0)$

Bước 6.4

Viết lại phương trình ở dạng $x (0) = f$ .

$x (0) = f$

Bước 6.5

Nhân $x$ với $0$ .

$0 = f$

Bước 6.6

Viết lại $0 = f$ sao cho $f$ nằm ở vế trái.

$f = 0$

Bước 6.7

Biến $x$ được lược bỏ.

Tất cả các số thực

Bước 7

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đặt mẫu số trong $\frac{d f}{d x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$d x = 0$

Bước 7.2

Chia mỗi số hạng trong $d x = 0$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Chia mỗi số hạng trong $d x = 0$ cho $x$ .

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Bước 7.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Bước 7.2.2.1.2

Chia $d$ cho $1$ .

$d = \frac{0}{x}$

Bước 7.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Chia $0$ cho $x$ .

$d = 0$

Bước 8

Các điểm cực trị cần tính.

$x = A l \cdot l$ real $n u m b e r s, 0$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \frac{f}{{(A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s))}^{2}}$

Bước 10

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Nâng $l$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l) r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

Bước 10.1.2

Nâng $l$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l^{1}) r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

Bước 10.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{f}{{(A l^{1 + 1} r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

Bước 10.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{2} r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

Bước 10.1.5

Nâng $l$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l^{2}) r e a n u m b e r s)}^{2}}$

Bước 10.1.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{f}{{(A l^{1 + 2} r e a n u m b e r s)}^{2}}$

Bước 10.1.7

Cộng $1$ và $2$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r e a n u m b e r s)}^{2}}$

Bước 10.1.8

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b (e^{1} e) r s)}^{2}}$

Bước 10.1.9

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b (e^{1} e^{1}) r s)}^{2}}$

Bước 10.1.10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b e^{1 + 1} r s)}^{2}}$

Bước 10.1.11

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b e^{2} r s)}^{2}}$

Bước 10.1.12

Nâng $r$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} (r^{1} r) s)}^{2}}$

Bước 10.1.13

Nâng $r$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} (r^{1} r^{1}) s)}^{2}}$

Bước 10.1.14

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{1 + 1} s)}^{2}}$

Bước 10.1.15

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s)}^{2}}$

Bước 10.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2})}^{2} s^{2}}$

Bước 10.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2}$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Bước 10.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $A l^{3} a n u m b e^{2}$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b)}^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Bước 10.3.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $A l^{3} a n u m b$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m)}^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Bước 10.3.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $A l^{3} a n u m$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u)}^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Bước 10.3.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $A l^{3} a n u$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n)}^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Bước 10.3.6

Áp dụng quy tắc tích số cho $A l^{3} a n$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a)}^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Bước 10.3.7

Áp dụng quy tắc tích số cho $A l^{3} a$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3})}^{2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Bước 10.3.8

Áp dụng quy tắc tích số cho $A l^{3}$ .

$- \frac{f}{A^{2} {(l^{3})}^{2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Bước 10.4

Nhân các số mũ trong ${(l^{3})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{3 \cdot 2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Bước 10.4.2

Nhân $3$ với $2$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Bước 10.5

Nhân các số mũ trong ${(e^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{2 \cdot 2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Bước 10.5.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Bước 10.6

Nhân các số mũ trong ${(r^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} r^{2 \cdot 2} s^{2}}$

Bước 10.6.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} r^{4} s^{2}}$

Bước 11

Vì phép kiểm định đạo hàm bậc nhất thất bại, nên không có cực trị địa phương.

Không có cực trị địa phương

Bước 12