Giải tích Ví dụ

$\sin^{2} (x)$

Bước 1

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại

$\sin^{2} (x)$ ở dạng

$\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Bước 2

Vì

$\frac{1}{2}$ không đổi đối với

$x$ , hãy di chuyển

$\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

Bước 4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

Bước 5

Vì

$- 1$ không đổi đối với

$x$ , hãy di chuyển

$- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

Bước 6

Giả sử

$u = 2 x$ . Sau đó

$d u = 2 d x$ , nên

$\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng

$u$ và

$d$

$u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt

$u = 2 x$ . Tìm

$\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm

$2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 6.1.2

Vì

$2$ không đổi đối với

$x$ , nên đạo hàm của

$2 x$ đối với

$x$ là

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

$n x^{n - 1}$ trong đó

$n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 6.1.4

Nhân

$2$ với

$1$ .

$2$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng

$u$ và

$d u$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 7

Kết hợp

$\cos (u)$ và

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 8

Vì

$\frac{1}{2}$ không đổi đối với

$u$ , hãy di chuyển

$\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Bước 9

Tích phân của

$\cos (u)$ đối với

$u$ là

$\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Bước 10

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của

$u$ với

$2 x$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp

$\sin (2 x)$ và

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Bước 12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Bước 12.3

Kết hợp

$\frac{1}{2}$ và

$x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Bước 12.4

Nhân

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Nhân

$\frac{1}{2}$ với

$\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Bước 12.4.2

Nhân

$2$ với

$2$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Bước 13

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$