Giải tích Ví dụ

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân vô hạng được xác định bằng công thức $\frac{a}{1 - r}$ với $a$ là số hạng đầu và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{n}$ và $a_{n + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ và ${(\frac{1}{2})}^{n}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa ${(\frac{1}{2})}^{n}$ ra ngoài ${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Bước 2.2.2.4

Chia $\frac{1}{2}$ cho $1$ .

$r = \frac{1}{2}$

Bước 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Bước 4

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $0$ cho $n$ vào ${(\frac{1}{2})}^{n}$ .

$a = {(\frac{1}{2})}^{0}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$a = \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Bước 4.2.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = \frac{1}{2^{0}}$

Bước 4.2.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Bước 4.2.4

Chia $1$ cho $1$ .

$a = 1$

Bước 5

Thế giá trị của công bội và của số hạng đầu vào công thức tính tổng.

$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Bước 6.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{\frac{2 - 1}{2}}$

Bước 6.1.3

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Bước 6.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$1 \cdot 2$

Bước 6.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2$