Giải tích Ví dụ

$\sin^{2} (θ)$

Bước 1

Viết $\sin^{2} (θ)$ ở dạng một hàm số.

$f (θ) = \sin^{2} (θ)$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (θ)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (θ)$ .

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (θ) = \int \sin^{2} (θ) d θ$

Bước 4

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\sin^{2} (θ)$ ở dạng $\frac{1 - \cos (2 θ)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 θ)}{2} d θ$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $θ$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 θ) d θ$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int d θ + \int - \cos (2 θ) d θ)$

Bước 7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (θ + C + \int - \cos (2 θ) d θ)$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $θ$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \cos (2 θ) d θ)$

Bước 9

Giả sử $u = 2 θ$ . Sau đó $d u = 2 d θ$ , nên $\frac{1}{2} d u = d θ$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Hãy đặt $u = 2 θ$ . Tìm $\frac{d u}{d θ}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính đạo hàm $2 θ$ .

$\frac{d}{d θ} [2 θ]$

Bước 9.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $θ$ , nên đạo hàm của $2 θ$ đối với $θ$ là $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [θ]$

Bước 9.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ là $n θ^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 9.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 9.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 10

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 11

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (θ + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Bước 12

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (θ + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Bước 13

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 14

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 θ$ .

$\frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} \sin (2 θ)) + C$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kết hợp $\sin (2 θ)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (θ - \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

Bước 15.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} θ + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

Bước 15.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $θ$ .

$\frac{θ}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

Bước 15.4

Nhân $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sin (2 θ)}{2}$ .

$\frac{θ}{2} - \frac{\sin (2 θ)}{2 \cdot 2} + C$

Bước 15.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{θ}{2} - \frac{\sin (2 θ)}{4} + C$

Bước 16

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} θ - \frac{1}{4} \sin (2 θ) + C$

Bước 17

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (θ) = \sin^{2} (θ)$ .

$F (θ) =$ $\frac{1}{2} θ - \frac{1}{4} \sin (2 θ) + C$