Giải tích Ví dụ

$x = 2 y - y^{2}$

Bước 1

Sắp xếp lại $2 y$ và $- y^{2}$ .

$x = - y^{2} + 2 y$

Bước 2

Tìm các thuộc tính của parabol đã cho.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Hoàn thành bình phương cho $- y^{2} + 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

Bước 2.1.1.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 2.1.1.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.1.1.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.1.1.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{1}{- 1}$

Bước 2.1.1.3.2.1.3

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Bước 2.1.1.3.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$d = - 1$

Bước 2.1.1.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Bước 2.1.1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.4.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Bước 2.1.1.4.2.1.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Bước 2.1.1.4.2.1.3

Chia $4$ cho $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Bước 2.1.1.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Bước 2.1.1.4.2.2

Cộng $0$ và $1$ .

$e = 1$

Bước 2.1.1.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- {(y - 1)}^{2} + 1$ .

$- {(y - 1)}^{2} + 1$

Bước 2.1.2

Đặt $x$ bằng với vế phải mới.

$x = - {(y - 1)}^{2} + 1$

Bước 2.2

Sử dụng dạng đỉnh, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , xác định giá trị của $a$ , $h$ và $k$ .

$a = - 1$

$h = 1$

$k = 1$

Bước 2.3

Vì giá trị của $a$ âm, nên parabol quay mặt lõm sang trái.

Quay mặt lõm sang trái

Bước 2.4

Tìm đỉnh $(h, k)$ .

$(1, 1)$

Bước 2.5

Tìm $p$ , khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Tìm khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm của đường parabol bằng công thức sau.

$\frac{1}{4 a}$

Bước 2.5.2

Thay giá trị của $a$ vào công thức.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Bước 2.5.3

Triệt tiêu thừa số chung của $1$ và $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Bước 2.5.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{4}$

Bước 2.6

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Có thể tìm tiêu điểm của một parabol bằng cách cộng $p$ vào tọa độ x $h$ nếu parabol quay mặt lõm sang trái hoặc phải.

$(h + p, k)$

Bước 2.6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $p$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(\frac{3}{4}, 1)$

Bước 2.7

Tìm trục đối xứng bằng cách tìm một đường thẳng đi qua đỉnh và tiêu điểm.

$y = 1$

Bước 2.8

Tìm đường chuẩn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Đường chuẩn của một parabol là đường thẳng đứng tìm được bằng cách trừ $p$ khỏi tọa độ x $h$ của đỉnh nếu parabol quay mặt lõm sang trái hoặc phải.

$x = h - p$

Bước 2.8.2

Thay các giá trị đã biết của $p$ và $h$ vào công thức và rút gọn.

$x = \frac{5}{4}$

Bước 2.9

Sử dụng các tính chất của parabol để phân tích và vẽ đồ thị đường parabol.

Hướng: quay mặt lõm sang trái

Đỉnh: $(1, 1)$

Tiêu điểm: $(\frac{3}{4}, 1)$

Trục đối xứng: $y = 1$

Đường chuẩn: $x = \frac{5}{4}$

Hướng: quay mặt lõm sang trái

Đỉnh: $(1, 1)$

Tiêu điểm: $(\frac{3}{4}, 1)$

Trục đối xứng: $y = 1$

Đường chuẩn: $x = \frac{5}{4}$

Bước 3

Chọn một vài giá trị $x$ và điền chúng vào phương trình để tìm các giá trị $y$ tương ứng. Các giá trị $x$ nên được chọn xung quanh đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $x$ giá trị $- 1$ vào $f (x) = 1 + \sqrt{1 - x}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(- 1, 2.41421356)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f (- 1) = 1 + \sqrt{1 - (- 1)}$

Bước 3.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (- 1) = 1 + \sqrt{1 + 1}$

Bước 3.1.2.1.2

Cộng $1$ và $1$ .

$f (- 1) = 1 + \sqrt{2}$

Bước 3.1.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $1 + \sqrt{2}$ .

$y = 1 + \sqrt{2}$

Bước 3.1.3

Quy đổi $1 + \sqrt{2}$ thành số thập phân.

$= 2.41421356$

Bước 3.2

Thay $x$ giá trị $- 1$ vào $f (x) = 1 - \sqrt{1 - x}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(- 1, - 0.41421356)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f (- 1) = 1 - \sqrt{1 - (- 1)}$

Bước 3.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - \sqrt{1 + 1}$

Bước 3.2.2.1.2

Cộng $1$ và $1$ .

$f (- 1) = 1 - \sqrt{2}$

Bước 3.2.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $1 - \sqrt{2}$ .

$y = 1 - \sqrt{2}$

Bước 3.2.3

Quy đổi $1 - \sqrt{2}$ thành số thập phân.

$= - 0.41421356$

Bước 3.3

Thay $x$ giá trị $0$ vào $f (x) = 1 + \sqrt{1 - x}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(0, 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = 1 + \sqrt{1 - (0)}$

Bước 3.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$f (0) = 1 + \sqrt{1 + 0}$

Bước 3.3.2.1.2

Cộng $1$ và $0$ .

$f (0) = 1 + \sqrt{1}$

Bước 3.3.2.1.3

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$f (0) = 1 + 1$

Bước 3.3.2.2

Cộng $1$ và $1$ .

$f (0) = 2$

Bước 3.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $2$ .

$y = 2$

Bước 3.3.3

Quy đổi $2$ thành số thập phân.

$= 2$

Bước 3.4

Thay $x$ giá trị $0$ vào $f (x) = 1 - \sqrt{1 - x}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(0, 0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = 1 - \sqrt{1 - (0)}$

Bước 3.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$f (0) = 1 - \sqrt{1 + 0}$

Bước 3.4.2.1.2

Cộng $1$ và $0$ .

$f (0) = 1 - \sqrt{1}$

Bước 3.4.2.1.3

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$f (0) = 1 - 1 \cdot 1$

Bước 3.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (0) = 1 - 1$

Bước 3.4.2.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f (0) = 0$

Bước 3.4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$y = 0$

Bước 3.4.3

Quy đổi $0$ thành số thập phân.

$= 0$

Bước 3.5

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 2.41 \\ - 1 & - 0.41 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}$

Bước 4

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

Hướng: quay mặt lõm sang trái

Đỉnh: $(1, 1)$

Tiêu điểm: $(\frac{3}{4}, 1)$

Trục đối xứng: $y = 1$

Đường chuẩn: $x = \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 2.41 \\ - 1 & - 0.41 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}$

Bước 5