Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sin (\cos (\tan (x)))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \cos (\tan (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cos (\tan (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (\tan (x))]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\cos (\tan (x))]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cos (\tan (x))$ .

$\cos (\cos (\tan (x))) \frac{d}{d x} [\cos (\tan (x))]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\tan (x)$ .

$\cos (\cos (\tan (x))) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$\cos (\cos (\tan (x))) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\tan (x)$ .

$\cos (\cos (\tan (x))) (- \sin (\tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Bước 3

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$\cos (\cos (\tan (x))) (- \sin (\tan (x)) \sec^{2} (x))$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\cos (\cos (\tan (x))) (- \sin (\tan (x)) \sec^{2} (x))$ .

$- \sec^{2} (x) \cos (\cos (\tan (x))) \sin (\tan (x))$

Bước 4.2

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$- {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (\cos (\tan (x))) \sin (\tan (x))$

Bước 4.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (\cos (\tan (x))) \sin (\tan (x))$

Bước 4.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (\cos (\tan (x))) \sin (\tan (x))$

Bước 4.5

Kết hợp $\cos (\cos (\tan (x)))$ và $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$- \frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos^{2} (x)} \sin (\tan (x))$

Bước 4.6

Kết hợp $\sin (\tan (x))$ và $\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos^{2} (x)}$ .

$- \frac{\sin (\tan (x)) \cos (\cos (\tan (x)))}{\cos^{2} (x)}$

Bước 4.7

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$- \frac{\sin (\tan (x)) \cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x) \cos (x)}$

Bước 4.8

Tách các phân số.

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x)})$

Bước 4.9

Viết lại $\frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x)}$ ở dạng một tích.

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \frac{1}{\cos (x)}))$

Bước 4.10

Viết $\sin (\tan (x))$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} (\frac{\sin (\tan (x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}))$

Bước 4.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.1

Chia $\sin (\tan (x))$ cho $1$ .

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \frac{1}{\cos (x)}))$

Bước 4.11.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Bước 4.12

Viết lại $\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)}$ ở dạng một tích.

$- (\cos (\cos (\tan (x))) \frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Bước 4.13

Viết $\cos (\cos (\tan (x)))$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Bước 4.14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.14.1

Chia $\cos (\cos (\tan (x)))$ cho $1$ .

$- (\cos (\cos (\tan (x))) \frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Bước 4.14.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$- (\cos (\cos (\tan (x))) \sec (x) (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Bước 4.15

Nhân $\cos (\cos (\tan (x))) \sec (x) (\sin (\tan (x)) \sec (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.15.1

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- (\cos (\cos (\tan (x))) (\sec^{1} (x) \sec (x)) \sin (\tan (x)))$

Bước 4.15.2

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- (\cos (\cos (\tan (x))) (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \sin (\tan (x)))$

Bước 4.15.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- (\cos (\cos (\tan (x))) {\sec (x)}^{1 + 1} \sin (\tan (x)))$

Bước 4.15.4

Cộng $1$ và $1$ .

$- (\cos (\cos (\tan (x))) \sec^{2} (x) \sin (\tan (x)))$

$- \cos (\cos (\tan (x))) \sec^{2} (x) \sin (\tan (x))$