Giải tích Ví dụ

$\int {(1 - \cos (x))}^{2} d x$

Bước 1

Khai triển ${(1 - \cos (x))}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(1 - \cos (x))}^{2}$ ở dạng $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ .

$\int (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x)) d x$

Bước 1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x)) d x$

Bước 1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x)) d x$

Bước 1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Bước 1.5

Di chuyển $\cos (x)$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Bước 1.6

Di chuyển $\cos (x)$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Bước 1.7

Nhân $1$ với $1$ .

$\int 1 + 1 \cdot - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Bước 1.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Bước 1.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Bước 1.10

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Bước 1.11

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Bước 1.12

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

Bước 1.13

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

Bước 1.14

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Bước 1.15

Cộng $1$ và $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x) d x$

Bước 1.16

Trừ $\cos (x)$ khỏi $- \cos (x)$ .

$\int 1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int d x + \int - 2 \cos (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Bước 3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$x + C + \int - 2 \cos (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Bước 4

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$x + C - 2 \int \cos (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Bước 5

Tích phân của $\cos (x)$ đối với $x$ là $\sin (x)$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \int \cos^{2} (x) d x$

Bước 6

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (x)$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Bước 8

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

Bước 10

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 10.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 10.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 10.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 11

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 12

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Bước 13

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Bước 14

Rút gọn.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 15

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (2 x)$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Bước 16.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Bước 16.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Bước 16.4

Nhân $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.4.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Bước 16.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Bước 17

Sắp xếp lại các số hạng.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$