Giải tích Ví dụ

$\int \sin (2 x) \sec^{5} (2 x) d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $\sec (2 x)$ theo sin và cosin.

$\int \sin (2 x) {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{5} d x$

Bước 1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\int \sin (2 x) \frac{1^{5}}{\cos^{5} (2 x)} d x$

Bước 1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\int \sin (2 x) \frac{1}{\cos^{5} (2 x)} d x$

Bước 1.4

Kết hợp $\sin (2 x)$ và $\frac{1}{\cos^{5} (2 x)}$ .

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} d x$

Bước 1.5

Đưa $\cos (2 x)$ ra ngoài $\cos^{5} (2 x)$ .

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{4} (2 x)} d x$

Bước 1.6

Tách các phân số.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

Bước 1.7

Quy đổi từ $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ sang $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (2 x)} \tan (2 x) d x$

Bước 1.8

Kết hợp $\frac{1}{\cos^{4} (2 x)}$ và $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos^{4} (2 x)} d x$

Bước 1.9

Đưa $\cos (2 x)$ ra ngoài $\cos^{4} (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{3} (2 x)} d x$

Bước 1.10

Tách các phân số.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} \cdot \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

Bước 1.11

Viết lại $\tan (2 x)$ theo sin và cosin.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} \cdot \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} d x$

Bước 1.12

Viết lại $\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ ở dạng một tích.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Bước 1.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.13.1

Quy đổi từ $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ sang $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Bước 1.13.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (2 x)}$ sang $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Bước 1.14

Nhân $\frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.14.1

Kết hợp $\tan (2 x)$ và $\frac{1}{\cos^{3} (2 x)}$ .

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} \sec (2 x) d x$

Bước 1.14.2

Kết hợp $\frac{\tan (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}$ và $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x) \sec (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} d x$

Bước 1.15

Đưa $\cos (2 x)$ ra ngoài $\cos^{3} (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x) \sec (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{2} (2 x)} d x$

Bước 1.16

Tách các phân số.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

Bước 1.17

Viết lại $\tan (2 x)$ theo sin và cosin.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} d x$

Bước 1.18

Viết lại $\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ ở dạng một tích.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Bước 1.19

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.19.1

Quy đổi từ $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ sang $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\tan (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Bước 1.19.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (2 x)}$ sang $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Bước 1.20

Đưa $\cos (2 x)$ ra ngoài $\cos^{2} (2 x)$ .

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Bước 1.21

Tách các phân số.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sec (2 x)}{\cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Bước 1.22

Viết lại $\sec (2 x)$ theo sin và cosin.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Bước 1.23

Viết lại $\frac{\frac{1}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ ở dạng một tích.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Bước 1.24

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.24.1

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (2 x)}$ sang $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Bước 1.24.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (2 x)}$ sang $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Bước 1.24.3

Nâng $\sec (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Bước 1.24.4

Nâng $\sec (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Bước 1.24.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Bước 1.24.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Bước 1.25

Nhân $\sec^{2} (2 x)$ với $\sec (2 x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.25.1

Di chuyển $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x) d x$

Bước 1.25.2

Nhân $\sec (2 x)$ với $\sec^{2} (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.25.2.1

Nâng $\sec (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x) d x$

Bước 1.25.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} {\sec (2 x)}^{1 + 2} \tan (2 x) d x$

Bước 1.25.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

Bước 1.26

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (2 x)}$ sang $\sec (2 x)$ .

$\int \sec (2 x) \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

Bước 1.27

Nhân $\sec (2 x)$ với $\sec^{3} (2 x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.27.1

Nhân $\sec (2 x)$ với $\sec^{3} (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.27.1.1

Nâng $\sec (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sec^{1} (2 x) \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

Bước 1.27.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int {\sec (2 x)}^{1 + 3} \tan (2 x) d x$

Bước 1.27.2

Cộng $1$ và $3$ .

$\int \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) d x$

Bước 2

Giả sử $u_{2} = \sec (2 x)$ . Sau đó $d u_{2} = 2 \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{2} = \sec (2 x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $\sec (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.1.2.2

Đạo hàm của $\sec (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

Bước 2.1.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

Bước 2.1.3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{3} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 3

Kết hợp ${u_{2}}^{3}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{{u_{2}}^{3}}{2} d u_{2}$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{3}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$ ở dạng $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} {u_{2}}^{4} + C$

Bước 6.2.2

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{1}{8} {u_{2}}^{4} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sec (2 x)$ .

$\frac{1}{8} \sec^{4} (2 x) + C$