Giải tích Ví dụ

$\int \sin (x) \sec^{8} (x) d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$\int \sin (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{8} d x$

Bước 1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\int \sin (x) \frac{1^{8}}{\cos^{8} (x)} d x$

Bước 1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\int \sin (x) \frac{1}{\cos^{8} (x)} d x$

Bước 1.4

Kết hợp $\sin (x)$ và $\frac{1}{\cos^{8} (x)}$ .

$\int \frac{\sin (x)}{\cos^{8} (x)} d x$

Bước 1.5

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{8} (x)$ .

$\int \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos^{7} (x)} d x$

Bước 1.6

Tách các phân số.

$\int \frac{1}{\cos^{7} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x$

Bước 1.7

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{7} (x)} \tan (x) d x$

Bước 1.8

Kết hợp $\frac{1}{\cos^{7} (x)}$ và $\tan (x)$ .

$\int \frac{\tan (x)}{\cos^{7} (x)} d x$

Bước 1.9

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{7} (x)$ .

$\int \frac{\tan (x)}{\cos (x) \cos^{6} (x)} d x$

Bước 1.10

Tách các phân số.

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} d x$

Bước 1.11

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} d x$

Bước 1.12

Viết lại $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ ở dạng một tích.

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Bước 1.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.13.1

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Bước 1.13.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Bước 1.14

Nhân $\frac{1}{\cos^{6} (x)} (\tan (x) \sec (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.14.1

Kết hợp $\tan (x)$ và $\frac{1}{\cos^{6} (x)}$ .

$\int \frac{\tan (x)}{\cos^{6} (x)} \sec (x) d x$

Bước 1.14.2

Kết hợp $\frac{\tan (x)}{\cos^{6} (x)}$ và $\sec (x)$ .

$\int \frac{\tan (x) \sec (x)}{\cos^{6} (x)} d x$

Bước 1.15

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{6} (x)$ .

$\int \frac{\tan (x) \sec (x)}{\cos (x) \cos^{5} (x)} d x$

Bước 1.16

Tách các phân số.

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} d x$

Bước 1.17

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} d x$

Bước 1.18

Viết lại $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ ở dạng một tích.

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Bước 1.19

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.19.1

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Bước 1.19.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Bước 1.20

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{5} (x)$ .

$\int \frac{\sec (x)}{\cos (x) \cos^{4} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Bước 1.21

Tách các phân số.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Bước 1.22

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Bước 1.23

Viết lại $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ ở dạng một tích.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Bước 1.24

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.24.1

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec (x) \frac{1}{\cos (x)}) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Bước 1.24.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec (x) \sec (x)) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Bước 1.24.3

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec^{1} (x) \sec (x)) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Bước 1.24.4

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Bước 1.24.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} {\sec (x)}^{1 + 1} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Bước 1.24.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \sec^{2} (x) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Bước 1.25

Nhân $\sec^{2} (x)$ với $\sec (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.25.1

Di chuyển $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

Bước 1.25.2

Nhân $\sec (x)$ với $\sec^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.25.2.1

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

Bước 1.25.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x) d x$

Bước 1.25.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \sec^{3} (x) \tan (x) d x$

Bước 1.26

Kết hợp $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ và $\sec^{3} (x)$ .

$\int \frac{\sec^{3} (x)}{\cos^{4} (x)} \tan (x) d x$

Bước 1.27

Đưa $\cos^{3} (x)$ ra ngoài $\cos^{4} (x)$ .

$\int \frac{\sec^{3} (x)}{\cos^{3} (x) \cos (x)} \tan (x) d x$

Bước 1.28

Tách các phân số.

$\int \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sec^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \tan (x) d x$

Bước 1.29

Cộng $3$ và $3$ .

$\int \frac{1}{\cos (x)} \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Bước 1.30

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\int \sec (x) \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Bước 1.31

Nhân $\sec (x)$ với $\sec^{6} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.31.1

Nhân $\sec (x)$ với $\sec^{6} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.31.1.1

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Bước 1.31.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int {\sec (x)}^{1 + 6} \tan (x) d x$

Bước 1.31.2

Cộng $1$ và $6$ .

$\int \sec^{7} (x) \tan (x) d x$

Bước 2

Giả sử $u = \sec (x)$ . Sau đó $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , nên $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = \sec (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int u^{6} d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{6}$ đối với $u$ là $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C$

Bước 4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sec (x)$ .

$\frac{1}{7} \sec^{7} (x) + C$