Giải tích Ví dụ

$\int_{π}^{2 π} x \sin (x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} - \int_{π}^{2 π} - \cos (x) d x$

Bước 2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} - - \int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} + 1 \int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$

Bước 3.2

Nhân $\int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$ với $1$ .

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} + \int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$

Bước 4

Tích phân của $\cos (x)$ đối với $x$ là $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} + \sin (x)]_{π}^{2 π}$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $x (- \cos (x))]_{π}^{2 π}$ và $\sin (x)]_{π}^{2 π}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{π}^{2 π}$

Bước 5.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Tính $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ tại $2 π$ và tại $π$ .

$(2 π (- \cos (2 π)) + \sin (2 π)) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Bước 5.2.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$- 2 π \cos (0) + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Bước 6.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$- 2 π \cdot 1 + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Bước 6.1.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2 π + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Bước 6.1.4

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$- 2 π + \sin (0) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Bước 6.1.5

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$- 2 π + 0 - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Bước 6.1.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.6.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$- 2 π + 0 - (π (- - \cos (0)) + \sin (π))$

Bước 6.1.6.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$- 2 π + 0 - (π (- (- 1 \cdot 1)) + \sin (π))$

Bước 6.1.6.3

Nhân $- (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.6.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 2 π + 0 - (π (- - 1) + \sin (π))$

Bước 6.1.6.3.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- 2 π + 0 - (π \cdot 1 + \sin (π))$

Bước 6.1.6.4

Nhân $π$ với $1$ .

$- 2 π + 0 - (π + \sin (π))$

Bước 6.1.6.5

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- 2 π + 0 - (π + \sin (0))$

Bước 6.1.6.6

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$- 2 π + 0 - (π + 0)$

Bước 6.1.7

Cộng $π$ và $0$ .

$- 2 π + 0 - π$

Bước 6.2

Cộng $- 2 π$ và $0$ .

$- 2 π - π$

Bước 6.3

Trừ $π$ khỏi $- 2 π$ .

$- 3 π$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- 3 π$

Dạng thập phân:

$- 9.42477796 \dots$