Giải tích Ví dụ

$\int x \cos (e x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \cos (e x)$ .

$x (\frac{1}{e} \sin (e x)) - \int \frac{1}{e} \sin (e x) d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{e}$ và $\sin (e x)$ .

$x \frac{\sin (e x)}{e} - \int \frac{1}{e} \sin (e x) d x$

Bước 2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{\sin (e x)}{e}$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \int \frac{1}{e} \sin (e x) d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{e}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{e}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x \sin (e x)}{e} - (\frac{1}{e} \int \sin (e x) d x)$

Bước 4

Giả sử $u = e x$ . Sau đó $d u = e d x$ , nên $\frac{1}{e} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = e x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $e x$ .

$\frac{d}{d x} [e x]$

Bước 4.1.2

Vì $e$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $e x$ đối với $x$ là $e \frac{d}{d x} [x]$ .

$e \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $e$ với $1$ .

$e$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e} \int \sin (u) \frac{1}{e} d u$

Bước 5

Kết hợp $\sin (u)$ và $\frac{1}{e}$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e} \int \frac{\sin (u)}{e} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{e}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{e}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e} (\frac{1}{e} \int \sin (u) d u)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $\frac{1}{e}$ với $\frac{1}{e}$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e e} \int \sin (u) d u$

Bước 7.2

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e^{1} e} \int \sin (u) d u$

Bước 7.3

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e^{1} e^{1}} \int \sin (u) d u$

Bước 7.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e^{1 + 1}} \int \sin (u) d u$

Bước 7.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e^{2}} \int \sin (u) d u$

Bước 8

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e^{2}} (- \cos (u) + C)$

Bước 9

Viết lại $\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e^{2}} (- \cos (u) + C)$ ở dạng $\frac{x \sin (e x)}{e} + \frac{\cos (u)}{e^{2}} + C$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} + \frac{\cos (u)}{e^{2}} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $e x$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} + \frac{\cos (e x)}{e^{2}} + C$

Bước 11

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{e} x \sin (e x) + \frac{1}{e^{2}} \cos (e x) + C$