Giải tích Ví dụ

$\int x \ln (4 x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (4 x)$ và $d v = x$ .

$\ln (4 x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\ln (4 x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2

Kết hợp $\ln (4 x)$ và $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (4 x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\ln (4 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (4 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x)$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{\ln (4 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x)$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\ln (4 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

Bước 4.2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{\ln (4 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Bước 4.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (4 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Bước 4.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (4 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x)$

Bước 4.2.2.5

Chia $x$ cho $1$ .

$\frac{\ln (4 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x)$

$\frac{\ln (4 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (4 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $\frac{\ln (4 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ ở dạng $\frac{1}{2} \ln (4 x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \ln (4 x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (4 x)$ .

$\frac{\ln (4 x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 6.2.2

Kết hợp $\frac{\ln (4 x)}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{\ln (4 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 6.2.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (4 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C$

Bước 6.2.4

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\ln (4 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Bước 6.3

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (4 x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

Bước 6.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} \ln (4 x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$