Giải tích Ví dụ

$\int \sqrt{1 + 0.2 x} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 1 + 0.2 x$ . Sau đó $d u = 0.2 d x$ , nên $\frac{1}{0.2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 + 0.2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 + 0.2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 0.2 x]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 0.2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [0.2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [0.2 x]$

Bước 1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [0.2 x]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [0.2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $0.2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $0.2 x$ đối với $x$ là $0.2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 0.2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 0.2 \cdot 1$

Bước 1.1.3.3

Nhân $0.2$ với $1$ .

$0 + 0.2$

Bước 1.1.4

Cộng $0$ và $0.2$ .

$0.2$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{0.2} d u$

Bước 2

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{0.2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{0.2} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{0.2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{0.2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{0.2} \int \sqrt{u} d u$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{0.2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{0.2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $\frac{1}{0.2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ ở dạng $5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$ .

$5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $u^{\frac{3}{2}}$ .

$5 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Bước 6.2.2

Kết hợp $5$ và $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{5 (2 u^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Bước 6.2.3

Nhân $2$ với $5$ .

$\frac{10 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + 0.2 x$ .

$\frac{10 {(1 + 0.2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Bước 8

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{10}{3} {(1 + 0.2 x)}^{\frac{3}{2}} + C$