Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \sin (x) \cos (x) d x$

Bước 1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (x) \cos (x) d x$

Bước 2

Giả sử $u = \sin (x)$ . Sau đó $d u = \cos (x) d x$ , nên $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = \sin (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Bước 2.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{4})$

Bước 2.5

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$4 \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Bước 4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u^{2}$ .

$4 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\frac{u^{2}}{2}$ tại $\frac{\sqrt{2}}{2}$ và tại $0$ .

$4 ((\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Bước 5.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Bước 5.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

Bước 5.2.2.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - 0)$

Bước 5.2.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} + 0)$

Bước 5.2.4

Cộng $\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$ và $0$ .

$4 \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 (2) \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

Bước 6.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot 2 \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

Bước 6.1.3

Viết lại biểu thức.

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Bước 6.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Bước 6.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2^{2}$ .

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Bước 6.4

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Bước 6.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Bước 6.4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Bước 6.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Bước 6.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2^{1}}{2}$

Bước 6.4.5

Tính số mũ.

$\frac{2}{2}$

Bước 6.5

Chia $2$ cho $2$ .

$1$