Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \sin (π - x) d x$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (π - x) d x$

Bước 2

Giả sử $u = π - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = π - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $π - x$ .

$\frac{d}{d x} [π - x]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $π - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.1.2.2

Vì $π$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $π$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Bước 2.1.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 - 1$

Bước 2.1.4

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$- 1$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = π - x$ .

$u_{lower} = π - 0$

Bước 2.3

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$u_{lower} = π$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = π - x$ .

$u_{upper} = π - \frac{π}{4}$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$u_{upper} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 2.5.2

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 2.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$u_{upper} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Bước 2.5.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$u_{upper} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Bước 2.5.4.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$2 \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} - \sin (u) d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (- \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u) d u)$

Bước 4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u) d u$

Bước 5

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$- 2 (- \cos (u)]_{π}^{\frac{3 π}{4}})$

Bước 6

Tính $- \cos (u)$ tại $\frac{3 π}{4}$ và tại $π$ .

$- 2 (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (π))$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$- 2 (- - \cos (\frac{π}{4}) + \cos (π))$

Bước 7.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 (- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

Bước 7.1.3

Nhân $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- 2 (1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

Bước 7.1.3.2

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{2}$ với $1$ .

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

Bước 7.1.4

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (0))$

Bước 7.1.5

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 7.1.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - 1)$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

Bước 7.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

Bước 7.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

Bước 7.3.3

Viết lại biểu thức.

$- \sqrt{2} - 2 \cdot - 1$

Bước 7.4

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$- \sqrt{2} + 2$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \sqrt{2} + 2$

Dạng thập phân:

$0.58578643 \dots$