Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \frac{\sec^{2} (2 x)}{3 + \tan (2 x)} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ . Sau đó $d u_{2} = 2 \sec^{2} (2 x) d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec^{2} (2 x) d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $3 + \tan (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 + \tan (2 x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 + \tan (2 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Bước 1.1.2.2

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3.1.2

Đạo hàm của $\tan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec^{2} (u_{1})$ .

$0 + \sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

Bước 1.1.3.4

Nhân $2$ với $1$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) \cdot 2$

Bước 1.1.3.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec^{2} (2 x)$ .

$0 + 2 \sec^{2} (2 x)$

Bước 1.1.4

Cộng $0$ và $2 \sec^{2} (2 x)$ .

$2 \sec^{2} (2 x)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ .

$u_{lower} = 3 + \tan (2 \cdot 0)$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 3 + \tan (0)$

Bước 1.3.1.2

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$u_{lower} = 3 + 0$

Bước 1.3.2

Cộng $3$ và $0$ .

$u_{lower} = 3$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ .

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{8})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{2 (4)})$

Bước 1.5.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{2 \cdot 4})$

Bước 1.5.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = 3 + \tan (\frac{π}{4})$

Bước 1.5.1.2

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Bước 1.5.2

Cộng $3$ và $1$ .

$u_{upper} = 4$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{1}{u_{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Bước 2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{2}$ .

$\int_{3}^{4} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 4

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)]_{3}^{4}$

Bước 5

Tính $\ln (| u_{2} |)$ tại $4$ và tại $3$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 4 |) - \ln (| 3 |))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$

Bước 6.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{2}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $4$ là $4$ .

$\frac{\ln (\frac{4}{| 3 |})}{2}$

Bước 7.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $3$ là $3$ .

$\frac{\ln (\frac{4}{3})}{2}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\ln (\frac{4}{3})}{2}$

Dạng thập phân:

$0.14384103 \dots$