Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} (1 - \cos (3 t)) \sin (3 t) d t$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = \cos (3 t)$ . Sau đó $d u_{2} = - 3 \sin (3 t) d t$ , nên $- \frac{1}{3} d u_{2} = \sin (3 t) d t$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = \cos (3 t)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\cos (3 t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \cos (t)$ và $g (t) = 3 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 t]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [3 t]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 t$ .

$- \sin (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \sin (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t])$

Bước 1.1.3.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 3 \sin (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 3 \sin (3 t) \cdot 1$

Bước 1.1.3.4

Nhân $- 3$ với $1$ .

$- 3 \sin (3 t)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u_{2} = \cos (3 t)$ .

$u_{lower} = \cos (3 \cdot 0)$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $3$ với $0$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Bước 1.3.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u_{2} = \cos (3 t)$ .

$u_{upper} = \cos (3 \frac{π}{6})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$u_{upper} = \cos (3 \frac{π}{3 (2)})$

Bước 1.5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = \cos (3 \frac{π}{3 \cdot 2})$

Bước 1.5.1.3

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Bước 1.5.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{0} (1 - u_{2}) \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Bước 2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{1}^{0} (1 - u_{2}) (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Bước 3

Nhân $(1 - u_{2}) (- \frac{1}{3})$ .

$\int_{1}^{0} 1 (- \frac{1}{3}) - u_{2} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\int_{1}^{0} - 1 (\frac{1}{3}) - u_{2} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Bước 4.2

Viết lại $- 1 (\frac{1}{3})$ ở dạng $- (\frac{1}{3})$ .

$\int_{1}^{0} - (\frac{1}{3}) - u_{2} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Bước 4.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{3} + 1 u_{2} \frac{1}{3} d u_{2}$

Bước 4.4

Nhân $u_{2}$ với $1$ .

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{3} + u_{2} \frac{1}{3} d u_{2}$

Bước 4.5

Kết hợp $u_{2}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{3} + \frac{u_{2}}{3} d u_{2}$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{3} d u_{2} + \int_{1}^{0} \frac{u_{2}}{3} d u_{2}$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} \frac{u_{2}}{3} d u_{2}$

Bước 7

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{0} + \frac{1}{3} \int_{1}^{0} u_{2} d u_{2}$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{0} + \frac{1}{3} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{1}^{0}$

Bước 9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính $- \frac{1}{3} u_{2}$ tại $0$ và tại $1$ .

$(- \frac{1}{3} \cdot 0) + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{1}^{0}$

Bước 9.2

Tính $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ tại $0$ và tại $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$0 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Bước 9.3.2

Nhân $0$ với $\frac{1}{3}$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Bước 9.3.3

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Bước 9.3.4

Cộng $0$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Bước 9.3.5

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Bước 9.3.6

Nhân $\frac{1}{2}$ với $0$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Bước 9.3.7

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (0 - \frac{1}{2} \cdot 1)$

Bước 9.3.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (0 - \frac{1}{2})$

Bước 9.3.9

Trừ $\frac{1}{2}$ khỏi $0$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})$

Bước 9.3.10

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3 \cdot 2}$

Bước 9.3.11

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{1}{3} - \frac{1}{6}$

Bước 9.3.12

Để viết $\frac{1}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}$

Bước 9.3.13

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.13.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}$

Bước 9.3.13.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{2}{6} - \frac{1}{6}$

Bước 9.3.14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 - 1}{6}$

Bước 9.3.15

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{6}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{6}$

Dạng thập phân:

$0.1\overline{6}$