Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{0.9} \cos (\sqrt{6 x}) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = 6 x$ . Sau đó $d u_{1} = 6 d x$ , nên $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = 6 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 1.1.2

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $6$ với $1$ .

$6$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{1} = 6 x$ .

$u_{lower} = 6 \cdot 0$

Bước 1.3

Nhân $6$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{1} = 6 x$ .

$u_{upper} = 6 \cdot 0.9$

Bước 1.5

Nhân $6$ với $0.9$ .

$u_{upper} = 5.4$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5.4$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ , $d u_{1}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{5.4} \cos (\sqrt{u_{1}}) \frac{1}{6} d u_{1}$

Bước 2

Kết hợp $\cos (\sqrt{u_{1}})$ và $\frac{1}{6}$ .

$\int_{0}^{5.4} \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{6} d u_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{6}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{6} \int_{0}^{5.4} \cos (\sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Bước 4

Giả sử $u_{2} = \sqrt{u_{1}}$ . Sau đó $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ , nên $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} 2 u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Bước 5

Vì $2$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{6} (2 \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{6}$ .

$\frac{2}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Bước 6.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Bước 6.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Bước 6.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Bước 7

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int w d v = w v - \int v d w$ , trong đó $w = u_{2}$ và $dv = \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} (u_{2} \sin (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}} - \int_{0}^{\sqrt{5.4}} \sin (u_{2}) d u_{2})$

Bước 8

Tích phân của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} (u_{2} \sin (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}} - (- \cos (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}}))$

Bước 9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính $u_{2} \sin (u_{2})$ tại $\sqrt{5.4}$ và tại $0$ .

$\frac{1}{3} ((\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})) + 0 \sin (0) - (- \cos (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}}))$

Bước 9.2

Tính $- \cos (u_{2})$ tại $\sqrt{5.4}$ và tại $0$ .

$\frac{1}{3} ((\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\sqrt{5.4})) + \cos (0)))$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nhân $0$ với $\sin (0)$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) + 0 - ((- \cos (\sqrt{5.4})) + \cos (0)))$

Bước 9.3.2

Cộng $\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})$ và $0$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) - (- \cos (\sqrt{5.4}) + \cos (0)))$

Bước 10

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính $\sin (\sqrt{5.4})$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \cdot 0.72964498 - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

Bước 11.2

Nhân $\sqrt{5.4}$ với $0.72964498$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

Bước 11.3

Tính $\cos (\sqrt{5.4})$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (- - 0.68382614 + 1))$

Bước 11.4

Nhân $- 1$ với $- 0.68382614$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (0.68382614 + 1))$

Bước 11.5

Cộng $0.68382614$ và $1$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - 1 \cdot 1.68382614)$

Bước 11.6

Nhân $- 1$ với $1.68382614$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - 1.68382614)$

Bước 11.7

Trừ $1.68382614$ khỏi $1.69554172$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0.01171557$

Bước 11.8

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $0.01171557$ .

$\frac{0.01171557}{3}$

Bước 11.9

Chia $0.01171557$ cho $3$ .

$0.00390519$