Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} 3 + \frac{1}{4} u^{4} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{1} 3 d u + \int_{0}^{1} \frac{1}{4} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

Bước 2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$3 u]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{4} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$3 u]_{0}^{1} + \frac{1}{4} \int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{4}$ đối với $u$ là $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$3 u]_{0}^{1} + \frac{1}{4} \frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

Bước 5

Vì $- \frac{2}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- \frac{2}{3}$ ra khỏi tích phân.

$3 u]_{0}^{1} + \frac{1}{4} \frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - \frac{2}{3} \int_{0}^{1} u^{9} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{9}$ đối với $u$ là $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$3 u]_{0}^{1} + \frac{1}{4} \frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - \frac{2}{3} \frac{1}{10} u^{10}]_{0}^{1}$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $3 u$ tại $1$ và tại $0$ .

$(3 \cdot 1) - 3 \cdot 0 + \frac{1}{4} \frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - \frac{2}{3} \frac{1}{10} u^{10}]_{0}^{1}$

Bước 7.2

Tính $\frac{1}{5} u^{5}$ tại $1$ và tại $0$ .

$3 \cdot 1 - 3 \cdot 0 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} \frac{1}{10} u^{10}]_{0}^{1}$

Bước 7.3

Tính $\frac{1}{10} u^{10}$ tại $1$ và tại $0$ .

$3 \cdot 1 - 3 \cdot 0 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Bước 7.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nhân $3$ với $1$ .

$3 - 3 \cdot 0 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Bước 7.4.2

Nhân $- 3$ với $0$ .

$3 + 0 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Bước 7.4.3

Cộng $3$ và $0$ .

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Bước 7.4.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Bước 7.4.5

Nhân $\frac{1}{5}$ với $1$ .

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Bước 7.4.6

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Bước 7.4.7

Nhân $0$ với $- 1$ .

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} + 0 (\frac{1}{5})) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Bước 7.4.8

Nhân $0$ với $\frac{1}{5}$ .

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} + 0) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Bước 7.4.9

Cộng $\frac{1}{5}$ và $0$ .

$3 + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Bước 7.4.10

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{1}{5}$ .

$3 + \frac{1}{4 \cdot 5} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Bước 7.4.11

Nhân $4$ với $5$ .

$3 + \frac{1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Bước 7.4.12

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{20}{20}$ .

$3 \cdot \frac{20}{20} + \frac{1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Bước 7.4.13

Kết hợp $3$ và $\frac{20}{20}$ .

$\frac{3 \cdot 20}{20} + \frac{1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Bước 7.4.14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3 \cdot 20 + 1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Bước 7.4.15

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.15.1

Nhân $3$ với $20$ .

$\frac{60 + 1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Bước 7.4.15.2

Cộng $60$ và $1$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Bước 7.4.16

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} \cdot 1 - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Bước 7.4.17

Nhân $\frac{1}{10}$ với $1$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

Bước 7.4.18

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} - \frac{1}{10} \cdot 0)$

Bước 7.4.19

Nhân $0$ với $- 1$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} + 0 (\frac{1}{10}))$

Bước 7.4.20

Nhân $0$ với $\frac{1}{10}$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} + 0)$

Bước 7.4.21

Cộng $\frac{1}{10}$ và $0$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{10}$

Bước 7.4.22

Nhân $\frac{1}{10}$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{10 \cdot 3}$

Bước 7.4.23

Nhân $10$ với $3$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2}{30}$

Bước 7.4.24

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $30$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.24.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2 (1)}{30}$

Bước 7.4.24.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.24.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $30$ .

$\frac{61}{20} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15}$

Bước 7.4.24.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{61}{20} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15}$

Bước 7.4.24.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{61}{20} - \frac{1}{15}$

Bước 7.4.25

Để viết $\frac{61}{20}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{61}{20} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{15}$

Bước 7.4.26

Để viết $- \frac{1}{15}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{61}{20} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{15} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 7.4.27

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $60$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.27.1

Nhân $\frac{61}{20}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{61 \cdot 3}{20 \cdot 3} - \frac{1}{15} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 7.4.27.2

Nhân $20$ với $3$ .

$\frac{61 \cdot 3}{60} - \frac{1}{15} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 7.4.27.3

Nhân $\frac{1}{15}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{61 \cdot 3}{60} - \frac{4}{15 \cdot 4}$

Bước 7.4.27.4

Nhân $15$ với $4$ .

$\frac{61 \cdot 3}{60} - \frac{4}{60}$

Bước 7.4.28

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{61 \cdot 3 - 4}{60}$

Bước 7.4.29

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.29.1

Nhân $61$ với $3$ .

$\frac{183 - 4}{60}$

Bước 7.4.29.2

Trừ $4$ khỏi $183$ .

$\frac{179}{60}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{179}{60}$

Dạng thập phân:

$2.98\overline{3}$

Dạng hỗn số:

$2 \frac{59}{60}$

Bước 9