Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} \tan^{2} (\frac{π}{4} y) d y$

Bước 1

Giả sử $u = \frac{π}{4} y$ . Sau đó $d u = \frac{π}{4} d y$ , nên $\frac{4}{π} d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \frac{π}{4} y$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{π}{4} y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{π}{4} y]$

Bước 1.1.2

Vì $\frac{π}{4}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{π}{4} y$ đối với $y$ là $\frac{π}{4} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{π}{4} \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{π}{4} \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $\frac{π}{4}$ với $1$ .

$\frac{π}{4}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $y$ trong $u = \frac{π}{4} y$ .

$u_{lower} = \frac{π}{4} \cdot 0$

Bước 1.3

Nhân $\frac{π}{4}$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $y$ trong $u = \frac{π}{4} y$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4} \cdot 1$

Bước 1.5

Nhân $\frac{π}{4}$ với $1$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{π}{4}} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{π}{4}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) (1 \frac{4}{π}) d u$

Bước 2.2

Nhân $\frac{4}{π}$ với $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) \frac{4}{π} d u$

Bước 2.3

Kết hợp $\tan^{2} (u)$ và $\frac{4}{π}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{2} (u) \cdot 4}{π} d u$

Bước 2.4

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $\tan^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{4 \tan^{2} (u)}{π} d u$

Bước 3

Vì $\frac{4}{π}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{4}{π}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{4}{π} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) d u$

Bước 4

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (u)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (u)$ .

$\frac{4}{π} \int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 + \sec^{2} (u) d u$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{4}{π} (\int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 d u + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u)$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{4}{π} (- u]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u)$

Bước 7

Vì đạo hàm của $\tan (u)$ là $\sec^{2} (u)$ , tích phân của $\sec^{2} (u)$ là $\tan (u)$ .

$\frac{4}{π} (- u]_{0}^{\frac{π}{4}} + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Bước 8

Kết hợp $- u]_{0}^{\frac{π}{4}}$ và $\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$ .

$\frac{4}{π} - u + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Bước 9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính $- u + \tan (u)$ tại $\frac{π}{4}$ và tại $0$ .

$\frac{4}{π} ((- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4})) - (- 0 + \tan (0)))$

Bước 9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - (0 + \tan (0)))$

Bước 9.2.2

Cộng $0$ và $\tan (0)$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - \tan (0))$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 - \tan (0))$

Bước 10.2

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 - 0)$

Bước 10.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 + 0)$

Bước 10.4

Cộng $- \frac{π}{4} + 1$ và $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1)$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4}) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Bước 11.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{4}$ vào tử số.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{- π}{4} + \frac{4}{π} \cdot 1$

Bước 11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{- π}{4} + \frac{4}{π} \cdot 1$

Bước 11.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{π} (- π) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Bước 11.3

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Đưa $π$ ra ngoài $- π$ .

$\frac{1}{π} (π \cdot - 1) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Bước 11.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{π} (π \cdot - 1) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Bước 11.3.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 + \frac{4}{π} \cdot 1$

Bước 11.4

Nhân $\frac{4}{π}$ với $1$ .

$- 1 + \frac{4}{π}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- 1 + \frac{4}{π}$

Dạng thập phân:

$0.27323954 \dots$