Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} \sqrt{t^{4} + 7 t} (4 t^{3} + 7) d t$

Bước 1

Giả sử $u = t^{4} + 7 t$ . Sau đó $d u = (4 t^{3} + 7) d t$ , nên $\frac{1}{4 t^{3} + 7} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = t^{4} + 7 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $t^{4} + 7 t$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4} + 7 t]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t^{4} + 7 t$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [7 t]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [7 t]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [7 t]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d t} [7 t]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $7$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $7 t$ đối với $t$ là $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 t^{3} + 7 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 t^{3} + 7 \cdot 1$

Bước 1.1.3.3

Nhân $7$ với $1$ .

$4 t^{3} + 7$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = t^{4} + 7 t$ .

$u_{lower} = 0^{4} + 7 \cdot 0$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 0 + 7 \cdot 0$

Bước 1.3.1.2

Nhân $7$ với $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Bước 1.3.2

Cộng $0$ và $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = t^{4} + 7 t$ .

$u_{upper} = 1^{4} + 7 \cdot 1$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{upper} = 1 + 7 \cdot 1$

Bước 1.5.1.2

Nhân $7$ với $1$ .

$u_{upper} = 1 + 7$

Bước 1.5.2

Cộng $1$ và $7$ .

$u_{upper} = 8$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{8} \sqrt{u} d u$

Bước 2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{8}$

Bước 4

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $8$ và tại $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $8^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.2

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$\frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.3

Nhân các số mũ trong ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.3.2

Nhân $3 (\frac{3}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.2.1

Kết hợp $3$ và $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.3.2.2

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.7

Cộng $2$ và $9$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.8

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.9

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Bước 4.2.10

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Bước 4.2.10.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

Bước 4.2.11

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

Bước 4.2.12

Nhân $0$ với $- 1$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

Bước 4.2.13

Nhân $0$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} + 0$

Bước 4.2.14

Cộng $\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$ và $0$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$

Dạng thập phân:

$15.08494466 \dots$

Bước 6