Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} \frac{1}{4 x + 1} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 4 x + 1$ . Sau đó $d u = 4 d x$ , nên $\frac{1}{4} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 4 x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $4 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $4$ với $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$4 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $4$ và $0$ .

$4$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 4 x + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $4$ với $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Bước 1.3.2

Cộng $0$ và $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 4 x + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 1 + 1$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $4$ với $1$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Bước 1.5.2

Cộng $4$ và $1$ .

$u_{upper} = 5$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{5} \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Bước 2.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $u$ .

$\int_{1}^{5} \frac{1}{4 u} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Bước 4

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

Bước 5

Tính $\ln (| u |)$ tại $5$ và tại $1$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$

Bước 6.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})}{4}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $5$ là $5$ .

$\frac{\ln (\frac{5}{| 1 |})}{4}$

Bước 7.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{\ln (\frac{5}{1})}{4}$

Bước 7.3

Chia $5$ cho $1$ .

$\frac{\ln (5)}{4}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\ln (5)}{4}$

Dạng thập phân:

$0.40235947 \dots$

Bước 9