Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{2} x^{2} \cdot \ln (x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (x)$ và $d v = x^{2}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2

Kết hợp $\ln (x)$ và $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $x^{3}$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{x^{3}}{x} d x)$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{3}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Bước 4.2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Bước 4.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Bước 4.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{x^{2}}{1} d x)$

Bước 4.2.2.5

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \int_{0}^{2} x^{2} d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}$

Bước 6

Tính $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ tại $2$ và tại $0$ .

$(\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (0) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}$

Bước 7

Logarit tự nhiên của 0 là không xác định.

Không xác định