Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{2} x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 8 d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 5 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} 8 d x$

Bước 2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 5 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} 8 d x$

Bước 3

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 5$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 5 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} 8 d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} 8 d x$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} 8 d x$

Bước 6

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} 8 d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 8 d x$

Bước 8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 8 d x$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 8 x]_{0}^{2}$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2}$ và $8 x]_{0}^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + 8 x]_{0}^{2} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Bước 10.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Tính $\frac{1}{4} x^{4} + 8 x$ tại $2$ và tại $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 2^{4} + 8 \cdot 2) - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Bước 10.2.2

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $2$ và tại $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 2^{4} + 8 \cdot 2) - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Bước 10.2.3

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $2$ và tại $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 2^{4} + 8 \cdot 2) - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 16 + 8 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $16$ .

$\frac{16}{4} + 8 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4} + 8 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} + 8 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} + 8 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{1} + 8 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.3.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$4 + 8 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.4

Nhân $8$ với $2$ .

$4 + 16 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.5

Cộng $4$ và $16$ .

$20 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.6

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$20 - (\frac{1}{4} \cdot 0 + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.7

Nhân $\frac{1}{4}$ với $0$ .

$20 - (0 + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.8

Nhân $8$ với $0$ .

$20 - (0 + 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.9

Cộng $0$ và $0$ .

$20 - 0 - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.10

Nhân $- 1$ với $0$ .

$20 + 0 - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.11

Cộng $20$ và $0$ .

$20 - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.12

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$20 - 5 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.13

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$20 - 5 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.14

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.14.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$20 - 5 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.14.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.14.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$20 - 5 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.14.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$20 - 5 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.14.2.3

Viết lại biểu thức.

$20 - 5 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.14.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$20 - 5 (\frac{8}{3} - 0) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.15

Nhân $- 1$ với $0$ .

$20 - 5 (\frac{8}{3} + 0) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.16

Cộng $\frac{8}{3}$ và $0$ .

$20 - 5 (\frac{8}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.17

Kết hợp $- 5$ và $\frac{8}{3}$ .

$20 + \frac{- 5 \cdot 8}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.18

Nhân $- 5$ với $8$ .

$20 + \frac{- 40}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.19

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$20 - \frac{40}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.20

Để viết $20$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$20 \cdot \frac{3}{3} - \frac{40}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.21

Kết hợp $20$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20 \cdot 3}{3} - \frac{40}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.22

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{20 \cdot 3 - 40}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.23

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.23.1

Nhân $20$ với $3$ .

$\frac{60 - 40}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.23.2

Trừ $40$ khỏi $60$ .

$\frac{20}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.24

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{20}{3} + 2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.25

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.25.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{20}{3} + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.25.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.25.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{20}{3} + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.25.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{20}{3} + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.25.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{20}{3} + 2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.25.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$\frac{20}{3} + 2 (2 - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.26

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{20}{3} + 2 (2 - \frac{0}{2})$

Bước 10.2.4.27

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.27.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$\frac{20}{3} + 2 (2 - \frac{2 (0)}{2})$

Bước 10.2.4.27.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.27.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{20}{3} + 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Bước 10.2.4.27.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{20}{3} + 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Bước 10.2.4.27.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{20}{3} + 2 (2 - \frac{0}{1})$

Bước 10.2.4.27.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\frac{20}{3} + 2 (2 - 0)$

Bước 10.2.4.28

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{20}{3} + 2 (2 + 0)$

Bước 10.2.4.29

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{20}{3} + 2 \cdot 2$

Bước 10.2.4.30

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{20}{3} + 4$

Bước 10.2.4.31

Để viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}$

Bước 10.2.4.32

Kết hợp $4$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Bước 10.2.4.33

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{20 + 4 \cdot 3}{3}$

Bước 10.2.4.34

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.34.1

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{20 + 12}{3}$

Bước 10.2.4.34.2

Cộng $20$ và $12$ .

$\frac{32}{3}$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{32}{3}$

Dạng thập phân:

$10.\overline{6}$

Dạng hỗn số:

$10 \frac{2}{3}$

Bước 12