Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{2} x^{3} - 3 x^{2} + 2 x d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x$

Bước 2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x$

Bước 3

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 3 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 x d x$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 x d x$

Bước 6

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 \int_{0}^{2} x d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2})$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Bước 8.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Tính $\frac{1}{4} x^{4}$ tại $2$ và tại $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Bước 8.2.2

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $2$ và tại $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Bước 8.2.3

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $2$ và tại $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $16$ .

$\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.3.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$4 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$4 - \frac{1}{4} \cdot 0 - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.5

Nhân $0$ với $- 1$ .

$4 + 0 (\frac{1}{4}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.6

Nhân $0$ với $\frac{1}{4}$ .

$4 + 0 - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.7

Cộng $4$ và $0$ .

$4 - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.8

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$4 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.9

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$4 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.10

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.10.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$4 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.10.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$4 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.10.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$4 - 3 (\frac{8}{3} - 0) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.11

Nhân $- 1$ với $0$ .

$4 - 3 (\frac{8}{3} + 0) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.12

Cộng $\frac{8}{3}$ và $0$ .

$4 - 3 (\frac{8}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.13

Kết hợp $- 3$ và $\frac{8}{3}$ .

$4 + \frac{- 3 \cdot 8}{3} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.14

Nhân $- 3$ với $8$ .

$4 + \frac{- 24}{3} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.15

Triệt tiêu thừa số chung của $- 24$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.15.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 24$ .

$4 + \frac{3 \cdot - 8}{3} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.15.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.15.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$4 + \frac{3 \cdot - 8}{3 (1)} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.15.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 + \frac{3 \cdot - 8}{3 \cdot 1} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.15.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 + \frac{- 8}{1} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.15.2.4

Chia $- 8$ cho $1$ .

$4 - 8 + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.16

Trừ $8$ khỏi $4$ .

$- 4 + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.17

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- 4 + 2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.18

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.18.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$- 4 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.18.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.18.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- 4 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.18.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 4 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.18.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 4 + 2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.18.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$- 4 + 2 (2 - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.19

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- 4 + 2 (2 - \frac{0}{2})$

Bước 8.2.4.20

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.20.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$- 4 + 2 (2 - \frac{2 (0)}{2})$

Bước 8.2.4.20.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.20.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- 4 + 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Bước 8.2.4.20.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 4 + 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Bước 8.2.4.20.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 4 + 2 (2 - \frac{0}{1})$

Bước 8.2.4.20.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$- 4 + 2 (2 - 0)$

Bước 8.2.4.21

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- 4 + 2 (2 + 0)$

Bước 8.2.4.22

Cộng $2$ và $0$ .

$- 4 + 2 \cdot 2$

Bước 8.2.4.23

Nhân $2$ với $2$ .

$- 4 + 4$

Bước 8.2.4.24

Cộng $- 4$ và $4$ .

$0$

Bước 9