Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{2} r^{2} e^{3 r} d r$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = r^{2}$ và $d v = e^{3 r}$ .

$r^{2} (\frac{1}{3} e^{3 r})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} (2 r) d r$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $e^{3 r}$ .

$r^{2} \frac{e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} (2 r) d r$

Bước 2.2

Kết hợp $r^{2}$ và $\frac{e^{3 r}}{3}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} (2 r) d r$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3} \cdot 2$ không đổi đối với $r$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3} \cdot 2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int_{0}^{2} e^{3 r} (r) d r)$

Bước 4

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $2$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} \int_{0}^{2} e^{3 r} (r) d r$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = r$ và $d v = e^{3 r}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (r (\frac{1}{3} e^{3 r})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} d r)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $e^{3 r}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (r \frac{e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} d r)$

Bước 6.2

Kết hợp $r$ và $\frac{e^{3 r}}{3}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} d r)$

Bước 6.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $e^{3 r}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{e^{3 r}}{3} d r)$

Bước 7

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $r$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} e^{3 r} d r))$

Bước 8

Giả sử $u = 3 r$ . Sau đó $d u = 3 d r$ , nên $\frac{1}{3} d u = d r$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u = 3 r$ . Tìm $\frac{d u}{d r}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $3 r$ .

$\frac{d}{d r} [3 r]$

Bước 8.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $3 r$ đối với $r$ là $3 \frac{d}{d r} [r]$ .

$3 \frac{d}{d r} [r]$

Bước 8.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 8.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 8.2

Thay giới hạn dưới vào cho $r$ trong $u = 3 r$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Bước 8.3

Nhân $3$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 8.4

Thay giới hạn trên vào cho $r$ trong $u = 3 r$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2$

Bước 8.5

Nhân $3$ với $2$ .

$u_{upper} = 6$

Bước 8.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 6$

Bước 8.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} \frac{1}{3} d u)$

Bước 9

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \int_{0}^{6} \frac{e^{u}}{3} d u)$

Bước 10

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} d u))$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int_{0}^{6} e^{u} d u)$

Bước 11.2

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{9} \int_{0}^{6} e^{u} d u)$

Bước 12

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{9} e^{u}]_{0}^{6})$

Bước 13

Kết hợp $e^{u}]_{0}^{6}$ và $\frac{1}{9}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{6}}{9})$

Bước 14

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Tính $\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}$ tại $2$ và tại $0$ .

$(\frac{2^{2} e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{6}}{9})$

Bước 14.2

Tính $\frac{r e^{3 r}}{3}$ tại $2$ và tại $0$ .

$(\frac{2^{2} e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{e^{u}]_{0}^{6}}{9})$

Bước 14.3

Tính $e^{u}$ tại $6$ và tại $0$ .

$(\frac{2^{2} e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Bước 14.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{4 e^{3 \cdot 2}}{3} - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Bước 14.4.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Bước 14.4.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Bước 14.4.4

Nhân $3$ với $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Bước 14.4.5

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0 \cdot 1}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Bước 14.4.6

Nhân $0$ với $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Bước 14.4.7

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.7.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Bước 14.4.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.7.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Bước 14.4.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Bước 14.4.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Bước 14.4.7.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Bước 14.4.8

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Bước 14.4.9

Cộng $\frac{4 e^{6}}{3}$ và $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Bước 14.4.10

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Bước 14.4.11

Nhân $3$ với $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Bước 14.4.12

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0 \cdot 1}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Bước 14.4.13

Nhân $0$ với $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Bước 14.4.14

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.14.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Bước 14.4.14.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.14.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Bước 14.4.14.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Bước 14.4.14.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0}{1} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Bước 14.4.14.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - 0 - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Bước 14.4.15

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} + 0 - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Bước 14.4.16

Cộng $\frac{2 e^{6}}{3}$ và $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Bước 14.4.17

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{e^{6} - 1 \cdot 1}{9})$

Bước 14.4.18

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

Bước 14.4.19

Để viết $\frac{2 e^{6}}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

Bước 14.4.20

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $9$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.20.1

Nhân $\frac{2 e^{6}}{3}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6} \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

Bước 14.4.20.2

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6} \cdot 3}{9} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

Bước 14.4.21

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 e^{6} \cdot 3 - (e^{6} - 1)}{9}$

Bước 14.4.22

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{6 e^{6} - (e^{6} - 1)}{9}$

Bước 14.4.23

Nhân $\frac{6 e^{6} - (e^{6} - 1)}{9}$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{(6 e^{6} - (e^{6} - 1)) \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Bước 14.4.24

Nhân $9$ với $3$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{(6 e^{6} - (e^{6} - 1)) \cdot 2}{27}$

Bước 14.4.25

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $6 e^{6} - (e^{6} - 1)$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2 \cdot (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Bước 14.4.26

Để viết $\frac{4 e^{6}}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} \cdot \frac{9}{9} - \frac{2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Bước 14.4.27

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $27$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.27.1

Nhân $\frac{4 e^{6}}{3}$ với $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 e^{6} \cdot 9}{3 \cdot 9} - \frac{2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Bước 14.4.27.2

Nhân $3$ với $9$ .

$\frac{4 e^{6} \cdot 9}{27} - \frac{2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Bước 14.4.28

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 e^{6} \cdot 9 - 2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Bước 14.4.29

Nhân $9$ với $4$ .

$\frac{36 e^{6} - 2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Bước 15

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{36 e^{6} - 2 (6 e^{6} - e^{6} - - 1)}{27}$

Bước 15.1.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{36 e^{6} - 2 (6 e^{6} - e^{6} + 1)}{27}$

Bước 15.2

Trừ $e^{6}$ khỏi $6 e^{6}$ .

$\frac{36 e^{6} - 2 (5 e^{6} + 1)}{27}$

Bước 15.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{36 e^{6} - 2 (5 e^{6}) - 2 \cdot 1}{27}$

Bước 15.4

Nhân $5$ với $- 2$ .

$\frac{36 e^{6} - 10 e^{6} - 2 \cdot 1}{27}$

Bước 15.5

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{36 e^{6} - 10 e^{6} - 2}{27}$

Bước 15.6

Trừ $10 e^{6}$ khỏi $36 e^{6}$ .

$\frac{26 e^{6} - 2}{27}$

Bước 16

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{26 e^{6} - 2}{27}$

Dạng thập phân:

$388.41291225 \dots$

Bước 17