Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{2} \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x - 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Bước 1.3

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 2 - 1$

Bước 1.5

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 1$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Bước 2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển $u^{\frac{2}{3}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int_{- 1}^{1} {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

Bước 2.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 1}^{1} u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

Bước 2.2.2

Nhân $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $- 1$ .

$\int_{- 1}^{1} u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

Bước 2.2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int_{- 1}^{1} u^{\frac{- 2}{3}} d u$

Bước 2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{- 1}^{1} u^{- \frac{2}{3}} d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{2}{3}}$ đối với $u$ là $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$3 u^{\frac{1}{3}}]_{- 1}^{1}$

Bước 4

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính $3 u^{\frac{1}{3}}$ tại $1$ và tại $- 1$ .

$(3 \cdot 1^{\frac{1}{3}}) - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$3 \cdot 1 - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 4.2.2

Nhân $3$ với $1$ .

$3 - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 4.2.3

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$3 - 3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 4.2.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 - 3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Bước 4.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 - 3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Bước 4.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$3 - 3 {(- 1)}^{1}$

Bước 4.2.6

Tính số mũ.

$3 - 3 \cdot - 1$

Bước 4.2.7

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$3 + 3$

Bước 4.2.8

Cộng $3$ và $3$ .

$6$

Bước 5