Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{2} (2 x - 3) (4 x^{2} + 1) d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{0}^{2} 2 x (4 x^{2} + 1) - 3 (4 x^{2} + 1) d x$

Bước 1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{0}^{2} 2 x (4 x^{2}) + 2 x \cdot 1 - 3 (4 x^{2} + 1) d x$

Bước 1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{0}^{2} 2 x (4 x^{2}) + 2 x \cdot 1 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot 1 d x$

Bước 1.4

Di chuyển $x$ .

$\int_{0}^{2} 2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 1 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot 1 d x$

Bước 1.5

Di chuyển $x$ .

$\int_{0}^{2} 2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 \cdot 1 x - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot 1 d x$

Bước 1.6

Nhân $2$ với $4$ .

$\int_{0}^{2} 8 x \cdot x^{2} + 2 \cdot 1 x - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

Bước 1.7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{0}^{2} 8 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 1 x - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

Bước 1.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{0}^{2} 8 x^{1 + 2} + 2 \cdot 1 x - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

Bước 1.9

Cộng $1$ và $2$ .

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} + 2 \cdot 1 x - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

Bước 1.10

Nhân $2$ với $1$ .

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} + 2 x - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

Bước 1.11

Nhân $- 3$ với $4$ .

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} + 2 x - 12 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

Bước 1.12

Nhân $- 3$ với $1$ .

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} + 2 x - 12 x^{2} - 3 d x$

Bước 1.13

Di chuyển $2 x$ .

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 3 d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Bước 3

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$8 \int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$8 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Bước 6

Vì $- 12$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 12$ ra khỏi tích phân.

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Bước 8

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Bước 9

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Bước 11

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 d x$

Bước 12

Áp dụng quy tắc hằng số.

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - 3 x]_{0}^{2}$

Bước 13

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Tính $\frac{x^{4}}{4}$ tại $2$ và tại $0$ .

$8 ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - 3 x]_{0}^{2}$

Bước 13.2

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $2$ và tại $0$ .

$8 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - 3 x]_{0}^{2}$

Bước 13.3

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $2$ và tại $0$ .

$8 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + - 3 x]_{0}^{2}$

Bước 13.4

Tính $- 3 x$ tại $2$ và tại $0$ .

$8 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$8 (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$8 (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.2.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$8 (4 - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$8 (4 - \frac{0}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.4

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $0$ .

$8 (4 - \frac{4 (0)}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.4.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$8 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$8 (4 - \frac{0}{1}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.4.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$8 (4 - 0) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.5

Nhân $- 1$ với $0$ .

$8 (4 + 0) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.6

Cộng $4$ và $0$ .

$8 \cdot 4 - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.7

Nhân $8$ với $4$ .

$32 - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.8

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.9

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.10

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.10.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.10.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.10.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$32 - 12 (\frac{8}{3} - 0) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.11

Nhân $- 1$ với $0$ .

$32 - 12 (\frac{8}{3} + 0) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.12

Cộng $\frac{8}{3}$ và $0$ .

$32 - 12 (\frac{8}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.13

Kết hợp $- 12$ và $\frac{8}{3}$ .

$32 + \frac{- 12 \cdot 8}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.14

Nhân $- 12$ với $8$ .

$32 + \frac{- 96}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.15

Triệt tiêu thừa số chung của $- 96$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.15.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 96$ .

$32 + \frac{3 \cdot - 32}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.15.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.15.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$32 + \frac{3 \cdot - 32}{3 (1)} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.15.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$32 + \frac{3 \cdot - 32}{3 \cdot 1} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.15.2.3

Viết lại biểu thức.

$32 + \frac{- 32}{1} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.15.2.4

Chia $- 32$ cho $1$ .

$32 - 32 + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.16

Trừ $32$ khỏi $32$ .

$0 + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.17

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$0 + 2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.18

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.18.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$0 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.18.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.18.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$0 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.18.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.18.2.3

Viết lại biểu thức.

$0 + 2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.18.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$0 + 2 (2 - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.19

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 + 2 (2 - \frac{0}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.20

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.20.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$0 + 2 (2 - \frac{2 (0)}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.20.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.20.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$0 + 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.20.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.20.2.3

Viết lại biểu thức.

$0 + 2 (2 - \frac{0}{1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.20.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$0 + 2 (2 - 0) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.21

Nhân $- 1$ với $0$ .

$0 + 2 (2 + 0) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.22

Cộng $2$ và $0$ .

$0 + 2 \cdot 2 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.23

Nhân $2$ với $2$ .

$0 + 4 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.24

Cộng $0$ và $4$ .

$4 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.25

Nhân $- 3$ với $2$ .

$4 - 6 + 3 \cdot 0$

Bước 13.5.26

Nhân $3$ với $0$ .

$4 - 6 + 0$

Bước 13.5.27

Cộng $- 6$ và $0$ .

$4 - 6$

Bước 13.5.28

Trừ $6$ khỏi $4$ .

$- 2$

Bước 14