Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{2} \sin (π x) - (x^{3} - 4 x) d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{2} \sin (π x) d x + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Bước 2

Giả sử $u = π x$ . Sau đó $d u = π d x$ , nên $\frac{1}{π} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = π x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Bước 2.1.2

Vì $π$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $π x$ đối với $x$ là $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Bước 2.1.4

Nhân $π$ với $1$ .

$π$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Bước 2.3

Nhân $π$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = π x$ .

$u_{upper} = π \cdot 2$

Bước 2.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$u_{upper} = 2 π$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{2 π} \sin (u) \frac{1}{π} d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Bước 3

Kết hợp $\sin (u)$ và $\frac{1}{π}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{\sin (u)}{π} d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Bước 4

Vì $\frac{1}{π}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{π}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} \sin (u) d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Bước 5

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2} x^{3} - 4 x d x$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

Bước 10

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 4$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 \int_{0}^{2} x d x)$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}))$

Bước 12

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

Bước 13

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Tính $- \cos (u)$ tại $2 π$ và tại $0$ .

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

Bước 13.2

Tính $\frac{x^{4}}{4}$ tại $2$ và tại $0$ .

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

Bước 13.3

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $2$ và tại $0$ .

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Bước 13.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Bước 13.4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Bước 13.4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Bước 13.4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Bước 13.4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Bước 13.4.2.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Bước 13.4.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Bước 13.4.4

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 (0)}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Bước 13.4.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.4.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Bước 13.4.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Bước 13.4.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0}{1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Bước 13.4.4.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 0 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Bước 13.4.5

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 + 0 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Bước 13.4.6

Cộng $4$ và $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Bước 13.4.7

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Bước 13.4.8

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.8.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Bước 13.4.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}))$

Bước 13.4.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}))$

Bước 13.4.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}))$

Bước 13.4.8.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0^{2}}{2}))$

Bước 13.4.9

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0}{2}))$

Bước 13.4.10

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.10.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 (0)}{2}))$

Bước 13.4.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.10.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Bước 13.4.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Bước 13.4.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0}{1}))$

Bước 13.4.10.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - 0))$

Bước 13.4.11

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 + 0))$

Bước 13.4.12

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 \cdot 2)$

Bước 13.4.13

Nhân $- 4$ với $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 8)$

Bước 13.4.14

Trừ $8$ khỏi $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - - 4$

Bước 13.4.15

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) + 4$

Bước 14

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + 1) + 4$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (0) + 1) + 4$

Bước 15.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{1}{π} (- 1 \cdot 1 + 1) + 4$

Bước 15.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{π} (- 1 + 1) + 4$

Bước 15.4

Cộng $- 1$ và $1$ .

$\frac{1}{π} \cdot 0 + 4$

Bước 15.5

Nhân $\frac{1}{π}$ với $0$ .

$0 + 4$

Bước 15.6

Cộng $0$ và $4$ .

$4$