Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{8 y}} d y$

Bước 1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Làm âm số mũ của $e^{8 y}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$\int_{0}^{1} y {(e^{8 y})}^{- 1} d y$

Bước 1.2

Nhân các số mũ trong ${(e^{8 y})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} y e^{8 y \cdot - 1} d y$

Bước 1.2.2

Nhân $- 1$ với $8$ .

$\int_{0}^{1} y e^{- 8 y} d y$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = y$ và $d v = e^{- 8 y}$ .

$y (- \frac{1}{8} e^{- 8 y})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $e^{- 8 y}$ và $\frac{1}{8}$ .

$y (- \frac{e^{- 8 y}}{8})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

Bước 3.2

Kết hợp $y$ và $\frac{e^{- 8 y}}{8}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

Bước 4

Vì $- \frac{1}{8}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{8}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - (- \frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + 1 (\frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y)$

Bước 5.2

Nhân $\frac{1}{8}$ với $1$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y$

Bước 6

Giả sử $u = - 8 y$ . Sau đó $d u = - 8 d y$ , nên $- \frac{1}{8} d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u = - 8 y$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $- 8 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 8 y]$

Bước 6.1.2

Vì $- 8$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 8 y$ đối với $y$ là $- 8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 8 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 8 \cdot 1$

Bước 6.1.4

Nhân $- 8$ với $1$ .

$- 8$

Bước 6.2

Thay giới hạn dưới vào cho $y$ trong $u = - 8 y$ .

$u_{lower} = - 8 \cdot 0$

Bước 6.3

Nhân $- 8$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 6.4

Thay giới hạn trên vào cho $y$ trong $u = - 8 y$ .

$u_{upper} = - 8 \cdot 1$

Bước 6.5

Nhân $- 8$ với $1$ .

$u_{upper} = - 8$

Bước 6.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 8$

Bước 6.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} \frac{1}{- 8} d u$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Bước 7.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} - \frac{e^{u}}{8} d u$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} (- \int_{0}^{- 8} \frac{e^{u}}{8} d u)$

Bước 9

Vì $\frac{1}{8}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{8}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} (- (\frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u))$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $\frac{1}{8}$ với $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{8 \cdot 8} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u$

Bước 10.2

Nhân $8$ với $8$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{64} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u$

Bước 11

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{64} e^{u}]_{0}^{- 8}$

Bước 12

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính $- \frac{y e^{- 8 y}}{8}$ tại $1$ và tại $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 8 \cdot 1}}{8}) + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} e^{u}]_{0}^{- 8}$

Bước 12.2

Tính $e^{u}$ tại $- 8$ và tại $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 8 \cdot 1}}{8}) + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Bước 12.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Nhân $- 8$ với $1$ .

$- \frac{1 e^{- 8}}{8} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Bước 12.3.2

Nhân $e^{- 8}$ với $1$ .

$- \frac{e^{- 8}}{8} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Bước 12.3.3

Di chuyển $e^{- 8}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Bước 12.3.4

Nhân $- 8$ với $0$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 e^{0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Bước 12.3.5

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 \cdot 1}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Bước 12.3.6

Nhân $0$ với $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Bước 12.3.7

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.7.1

Đưa $8$ ra ngoài $0$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 (0)}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Bước 12.3.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.7.2.1

Đưa $8$ ra ngoài $8$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Bước 12.3.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Bước 12.3.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0}{1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Bước 12.3.7.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + 0 - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Bước 12.3.8

Cộng $- \frac{1}{8 e^{8}}$ và $0$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Bước 12.3.9

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1 \cdot 1)$

Bước 12.3.10

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$

Bước 12.3.11

Để viết $- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) \cdot \frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$

Bước 12.3.12

Kết hợp $- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$ và $\frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) (8 e^{8})}{8 e^{8}}$

Bước 12.3.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 1 - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) (8 e^{8})}{8 e^{8}}$

Bước 12.3.14

Nhân $8$ với $- 1$ .

$\frac{- 1 - 8 (\frac{1}{64}) (e^{- 8} - 1) e^{8}}{8 e^{8}}$

Bước 12.3.15

Kết hợp $- 8$ và $\frac{1}{64}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 8}{64} (e^{- 8} - 1) e^{8}}{8 e^{8}}$

Bước 12.3.16

Kết hợp $e^{8}$ và $\frac{- 8}{64}$ .

$\frac{- 1 + \frac{e^{8} \cdot - 8}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Bước 12.3.17

Di chuyển $- 8$ sang phía bên trái của $e^{8}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 8 \cdot e^{8}}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Bước 12.3.18

Triệt tiêu thừa số chung của $- 8$ và $64$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.18.1

Đưa $8$ ra ngoài $- 8 e^{8}$ .

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Bước 12.3.18.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.18.2.1

Đưa $8$ ra ngoài $64$ .

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{8 (8)} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Bước 12.3.18.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{8 \cdot 8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Bước 12.3.18.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1 + \frac{- e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Bước 12.3.19

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{- 1 - \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Bước 13.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)$ .

$\frac{- 1 (1) - (\frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))}{8 e^{8}}$

Bước 13.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (\frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))$ .

$\frac{- 1 (1 + \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))}{8 e^{8}}$

Bước 13.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1 + \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{1 + \frac{e^{8}}{8} e^{- 8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Bước 14.1.2

Nhân $\frac{e^{8}}{8} e^{- 8}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.2.1

Kết hợp $\frac{e^{8}}{8}$ và $e^{- 8}$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{8} e^{- 8}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Bước 14.1.2.2

Nhân $e^{8}$ với $e^{- 8}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.2.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{1 + \frac{e^{8 - 8}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Bước 14.1.2.2.2

Trừ $8$ khỏi $8$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{0}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Bước 14.1.2.3

Rút gọn $e^{0}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Bước 14.1.3

Kết hợp $\frac{e^{8}}{8}$ và $- 1$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{e^{8} \cdot - 1}{8}}{8 e^{8}}$

Bước 14.1.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.4.1

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{8}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Bước 14.1.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1 + \frac{1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Bước 14.1.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \frac{\frac{8}{8} + \frac{1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Bước 14.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{\frac{8 + 1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Bước 14.1.7

Cộng $8$ và $1$ .

$- \frac{\frac{9}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Bước 14.1.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{\frac{9 - e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Bước 14.1.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.9.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$- \frac{\frac{3^{2} - e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Bước 14.1.9.2

Viết lại $e^{8}$ ở dạng ${(e^{4})}^{2}$ .

$- \frac{\frac{3^{2} - {(e^{4})}^{2}}{8}}{8 e^{8}}$

Bước 14.1.9.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 3$ và $b = e^{4}$ .

$- \frac{\frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8}}{8 e^{8}}$

Bước 14.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- (\frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8} \cdot \frac{1}{8 e^{8}})$

Bước 14.3

Kết hợp.

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4}) \cdot 1}{8 (8 e^{8})}$

Bước 14.4

Nhân $3 + e^{4}$ với $1$ .

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8 \cdot 8 e^{8}}$

Bước 14.5

Nhân $8$ với $8$ .

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8^{2} e^{8}}$

Bước 14.6

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{64 e^{8}}$

Bước 15

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{64 e^{8}}$

Dạng thập phân:

$0.01557782 \dots$

Bước 16