Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} \arcsin (y) d y$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \arcsin (y)$ và $d v = 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} y \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y$

Bước 2

Kết hợp $y$ và $\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{y}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y$

Bước 3

Giả sử $u = 1 - y^{2}$ . Sau đó $d u = - 2 y d y$ , nên $- \frac{1}{2} d u = y d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = 1 - y^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $1 - y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Bước 3.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Bước 3.1.3

Tính $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y^{2}$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 3.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - (2 y)$

Bước 3.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2 y$

Bước 3.1.4

Trừ $2 y$ khỏi $0$ .

$- 2 y$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $y$ trong $u = 1 - y^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Bước 3.3.1.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Bước 3.3.2

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho $y$ trong $u = 1 - y^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 1^{2}$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Bước 3.5.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Bước 3.5.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 3.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Bước 3.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 4.2

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Bước 4.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - - \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + 1 \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Bước 6.2

Nhân $\int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$ với $1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 8

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 8.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 8.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 8.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 8.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{0}$

Bước 10

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính $\arcsin (y) y$ tại $1$ và tại $0$ .

$(\arcsin (1) \cdot 1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{0}$

Bước 10.2

Tính $2 u^{\frac{1}{2}}$ tại $0$ và tại $1$ .

$(\arcsin (1) \cdot 1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 10.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Nhân $\arcsin (1)$ với $1$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 10.3.2

Nhân $0$ với $- 1$ .

$\arcsin (1) + 0 \arcsin (0) + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 10.3.3

Nhân $0$ với $\arcsin (0)$ .

$\arcsin (1) + 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 10.3.4

Cộng $\arcsin (1)$ và $0$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 10.3.5

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 10.3.6

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 10.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 10.3.7.2

Viết lại biểu thức.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 10.3.8

Tính số mũ.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 10.3.9

Nhân $2$ với $0$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 10.3.10

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2 \cdot 1)$

Bước 10.3.11

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2)$

Bước 10.3.12

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} \cdot - 2$

Bước 10.3.13

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 2$ .

$\arcsin (1) + \frac{- 2}{2}$

Bước 10.3.14

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.14.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Bước 10.3.14.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.14.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Bước 10.3.14.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Bước 10.3.14.2.3

Viết lại biểu thức.

$\arcsin (1) + \frac{- 1}{1}$

Bước 10.3.14.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\arcsin (1) - 1$

Bước 11

Giá trị chính xác của $\arcsin (1)$ là $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - 1$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{π}{2} - 1$

Dạng thập phân:

$0.57079632 \dots$