Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} 9 x {(x^{2} - 1)}^{9} d x$

Bước 1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $9$ ra khỏi tích phân.

$9 \int_{0}^{1} x {(x^{2} - 1)}^{9} d x$

Bước 2

Giả sử $u = x^{2} - 1$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = x^{2} - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 2.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x^{2} - 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} - 1$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Bước 2.3.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x^{2} - 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} - 1$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{upper} = 1 - 1$

Bước 2.5.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$9 \int_{- 1}^{0} u^{9} \frac{1}{2} d u$

Bước 3

Kết hợp $u^{9}$ và $\frac{1}{2}$ .

$9 \int_{- 1}^{0} \frac{u^{9}}{2} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$9 (\frac{1}{2} \int_{- 1}^{0} u^{9} d u)$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $9$ .

$\frac{9}{2} \int_{- 1}^{0} u^{9} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{9}$ đối với $u$ là $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{9}{2} \frac{1}{10} u^{10}]_{- 1}^{0}$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\frac{1}{10} u^{10}$ tại $0$ và tại $- 1$ .

$\frac{9}{2} ((\frac{1}{10} \cdot 0^{10}) - \frac{1}{10} {(- 1)}^{10})$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{9}{2} (\frac{1}{10} \cdot 0 - \frac{1}{10} {(- 1)}^{10})$

Bước 7.2.2

Nhân $\frac{1}{10}$ với $0$ .

$\frac{9}{2} (0 - \frac{1}{10} {(- 1)}^{10})$

Bước 7.2.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $10$ .

$\frac{9}{2} (0 - \frac{1}{10} \cdot 1)$

Bước 7.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{9}{2} (0 - \frac{1}{10})$

Bước 7.2.5

Trừ $\frac{1}{10}$ khỏi $0$ .

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{10})$

Bước 7.2.6

Nhân $\frac{9}{2}$ với $\frac{1}{10}$ .

$- \frac{9}{2 \cdot 10}$

Bước 7.2.7

Nhân $2$ với $10$ .

$- \frac{9}{20}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{9}{20}$

Dạng thập phân:

$- 0.45$

Bước 9