Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{10} 3 e^{0.7 (10 - t)} d t$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int_{0}^{10} e^{0.7 (10 - t)} d t$

Bước 2

Giả sử $u = 0.7 (10 - t)$ . Sau đó $d u = - 0.7 d t$ , nên $\frac{1}{- 0.7} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 0.7 (10 - t)$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $0.7 (10 - t)$ .

$\frac{d}{d t} [0.7 (10 - t)]$

Bước 2.1.2

Vì $0.7$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $0.7 (10 - t)$ đối với $t$ là $0.7 \frac{d}{d t} [10 - t]$ .

$0.7 \frac{d}{d t} [10 - t]$

Bước 2.1.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $10 - t$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$0.7 (\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t])$

Bước 2.1.4

Vì $10$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $10$ đối với $t$ là $0$ .

$0.7 (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

Bước 2.1.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$0.7 \frac{d}{d t} [- t]$

Bước 2.1.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$0.7 (- \frac{d}{d t} [t])$

Bước 2.1.7

Nhân $- 1$ với $0.7$ .

$- 0.7 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 2.1.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 0.7 \cdot 1$

Bước 2.1.9

Nhân $- 0.7$ với $1$ .

$- 0.7$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = 0.7 (10 - t)$ .

$u_{lower} = 0.7 (10 - 0)$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Trừ $0$ khỏi $10$ .

$u_{lower} = 0.7 \cdot 10$

Bước 2.3.2

Nhân $0.7$ với $10$ .

$u_{lower} = 7$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = 0.7 (10 - t)$ .

$u_{upper} = 0.7 (10 - 1 \cdot 10)$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nhân $- 1$ với $10$ .

$u_{upper} = 0.7 (10 - 10)$

Bước 2.5.2

Trừ $10$ khỏi $10$ .

$u_{upper} = 0.7 \cdot 0$

Bước 2.5.3

Nhân $0.7$ với $0$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 7$

$u_{upper} = 0$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$3 \int_{7}^{0} e^{u} \frac{1}{- 0.7} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$3 \int_{7}^{0} e^{u} (- \frac{1}{0.7}) d u$

Bước 3.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{0.7}$ .

$3 \int_{7}^{0} - \frac{e^{u}}{0.7} d u$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$3 (- \int_{7}^{0} \frac{e^{u}}{0.7} d u)$

Bước 5

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 \int_{7}^{0} \frac{e^{u}}{0.7} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{0.7}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{0.7}$ ra khỏi tích phân.

$- 3 (\frac{1}{0.7} \int_{7}^{0} e^{u} d u)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{0.7}$ và $- 3$ .

$\frac{- 3}{0.7} \int_{7}^{0} e^{u} d u$

Bước 7.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{0.7} \int_{7}^{0} e^{u} d u$

Bước 8

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- \frac{3}{0.7} e^{u}]_{7}^{0}$

Bước 9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính $e^{u}$ tại $0$ và tại $7$ .

$- \frac{3}{0.7} ((e^{0}) - e^{7})$

Bước 9.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- \frac{3}{0.7} (1 - e^{7})$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Chia $3$ cho $0.7$ .

$- 1 \cdot 4.\overline{285714} (1 - e^{7})$

Bước 10.2

Nhân $- 1$ với $4.\overline{285714}$ .

$- 4.\overline{285714} (1 - e^{7})$

Bước 10.3

Nhân $- 4.\overline{285714}$ với $1 - e^{7}$ .

$4695.57067897$

Bước 11