Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{8} 8 e^{- x} d x$

Bước 1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$8 \int_{0}^{8} e^{- x} d x$

Bước 2

Giả sử $u = - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 2.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Bước 2.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 8$

Bước 2.5

Nhân $- 1$ với $8$ .

$u_{upper} = - 8$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 8$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$8 \int_{0}^{- 8} - e^{u} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$8 (- \int_{0}^{- 8} e^{u} d u)$

Bước 4

Nhân $- 1$ với $8$ .

$- 8 \int_{0}^{- 8} e^{u} d u$

Bước 5

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- 8 (e^{u}]_{0}^{- 8})$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $e^{u}$ tại $- 8$ và tại $0$ .

$- 8 ((e^{- 8}) - e^{0})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- 8 (e^{- 8} - 1 \cdot 1)$

Bước 6.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 8 (e^{- 8} - 1)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 8 e^{- 8} - 8 \cdot - 1$

Bước 7.2

Nhân $- 8$ với $- 1$ .

$- 8 e^{- 8} + 8$

Bước 7.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{e^{8}} + 8$

Bước 7.3.2

Kết hợp $- 8$ và $\frac{1}{e^{8}}$ .

$\frac{- 8}{e^{8}} + 8$

Bước 7.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{8}{e^{8}} + 8$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{8}{e^{8}} + 8$

Dạng thập phân:

$7.99731629 \dots$

Bước 9