Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{8} {(\frac{2 - 3 x}{4})}^{2} d x$

Bước 1

Giả sử $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ . Sau đó $d u = - \frac{3}{4} d x$ , nên $- \frac{4}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{2 - 3 x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 - 3 x}{4}]$

Bước 1.1.2

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2 - 3 x}{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [2 - 3 x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [2 - 3 x]$

Bước 1.1.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 - 3 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Bước 1.1.4

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Bước 1.1.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Bước 1.1.6

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.1.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 3}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.7.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{3}{4} \cdot 1$

Bước 1.1.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{3}{4}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ .

$u_{lower} = \frac{2 - 3 \cdot 0}{4}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $2 - 3 \cdot 0$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Viết lại $2$ ở dạng $- 1 (- 2)$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2) - 3 \cdot 0}{4}$

Bước 1.3.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2) - (3 \cdot 0)}{4}$

Bước 1.3.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (- 2) - (3 \cdot 0)$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2 + 3 \cdot 0)}{4}$

Bước 1.3.1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2 + 0 \cdot 3)}{4}$

Bước 1.3.1.5

Đưa $2$ ra ngoài $- 1 (- 2 + 0 \cdot 3)$ .

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{4}$

Bước 1.3.1.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{2 (2)}$

Bước 1.3.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{2 \cdot 2}$

Bước 1.3.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 1 + 0 \cdot 3)}{2}$

Bước 1.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Nhân $0$ với $3$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 1 + 0)}{2}$

Bước 1.3.2.2

Cộng $- 1$ và $0$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 \cdot - 1}{2}$

Bước 1.3.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{2 - 3 \cdot 8}{4}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung của $2 - 3 \cdot 8$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Viết lại $2$ ở dạng $- 1 (- 2)$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2) - 3 \cdot 8}{4}$

Bước 1.5.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 \cdot 8$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2) - (3 \cdot 8)}{4}$

Bước 1.5.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (- 2) - (3 \cdot 8)$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2 + 3 \cdot 8)}{4}$

Bước 1.5.1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$u_{upper} = \frac{- 1 (3 \cdot 8 - 2)}{4}$

Bước 1.5.1.5

Đưa $2$ ra ngoài $- 1 (3 \cdot 8 - 2)$ .

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{4}$

Bước 1.5.1.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{2 (2)}$

Bước 1.5.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{2 \cdot 2}$

Bước 1.5.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \frac{- 1 (3 \cdot 4 - 1)}{2}$

Bước 1.5.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Nhân $3$ với $4$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (12 - 1)}{2}$

Bước 1.5.2.2

Trừ $1$ khỏi $12$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 \cdot 11}{2}$

Bước 1.5.3

Nhân $- 1$ với $11$ .

$u_{upper} = \frac{- 11}{2}$

Bước 1.5.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$u_{upper} = - \frac{11}{2}$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

$u_{upper} = - \frac{11}{2}$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{3}{4}} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{1}{\frac{3}{4}} d u$

Bước 2.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{3}{4}$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} (1 (\frac{4}{3})) d u$

Bước 2.3

Nhân $\frac{4}{3}$ với $1$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{4}{3} d u$

Bước 2.4

Kết hợp $\frac{4}{3}$ và $u^{2}$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - \frac{4 u^{2}}{3} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} \frac{4 u^{2}}{3} d u$

Bước 4

Vì $\frac{4}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{4}{3}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{4}{3} \int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} u^{2} d u)$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{4}{3} \frac{1}{3} u^{3}]_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{1}{3} u^{3}$ tại $- \frac{11}{2}$ và tại $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{4}{3} ((\frac{1}{3} {(- \frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \frac{11}{2}$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} {(- (\frac{11}{2}))}^{3} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Bước 6.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $- (\frac{11}{2})$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} ({(- 1)}^{3} {(\frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Bước 6.2.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- {(\frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{11}{2}$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{11^{3}}{2^{3}}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Bước 7.1.2

Nâng $11$ lên lũy thừa $3$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{1331}{2^{3}}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Bước 7.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{1331}{8}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Bước 7.1.4

Nhân $\frac{1}{3} (- \frac{1331}{8})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.4.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1331}{8}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{3 \cdot 8} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Bước 7.1.4.2

Nhân $3$ với $8$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Bước 7.1.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1^{3}}{2^{3}})$

Bước 7.1.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}})$

Bước 7.1.7

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8})$

Bước 7.1.8

Nhân $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.8.1

Nhân $\frac{1}{8}$ với $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{8 \cdot 3})$

Bước 7.1.8.2

Nhân $8$ với $3$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{24})$

Bước 7.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{- 1331 - 1}{24}$

Bước 7.3

Trừ $1$ khỏi $- 1331$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

Bước 7.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{4}{3}$ vào tử số.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

Bước 7.4.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

Bước 7.4.3

Đưa $4$ ra ngoài $24$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{4 \cdot 6}$

Bước 7.4.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{4 \cdot 6}$

Bước 7.4.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{6}$

Bước 7.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 1332$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (- 444)}{6}$

Bước 7.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot - 444}{6}$

Bước 7.5.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{- 444}{6}$

Bước 7.6

Chia $- 444$ cho $6$ .

$- - 74$

Bước 7.7

Nhân $- 1$ với $- 74$ .

$74$

Bước 8