Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{8} x e^{1 - x} d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{1 - x}$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - \int_{0}^{8} - e^{1 - x} d x$

Bước 2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - - \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + 1 \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

Bước 3.2

Nhân $\int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$ với $1$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

Bước 4

Giả sử $u = 1 - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = 1 - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 4.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 4.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Bước 4.1.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 - 1$

Bước 4.1.4

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$- 1$

Bước 4.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Bước 4.3

Trừ $0$ khỏi $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 4.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 8$

Bước 4.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân $- 1$ với $8$ .

$u_{upper} = 1 - 8$

Bước 4.5.2

Trừ $8$ khỏi $1$ .

$u_{upper} = - 7$

Bước 4.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 7$

Bước 4.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + \int_{1}^{- 7} - e^{u} d u$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - \int_{1}^{- 7} e^{u} d u$

Bước 6

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - (e^{u}]_{1}^{- 7})$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $x (- e^{1 - x})$ tại $8$ và tại $0$ .

$(8 (- e^{1 - 1 \cdot 8})) + 0 (- e^{1 - 0}) - (e^{u}]_{1}^{- 7})$

Bước 7.2

Tính $e^{u}$ tại $- 7$ và tại $1$ .

$(8 (- e^{1 - 1 \cdot 8})) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân $- 1$ với $8$ .

$8 (- e^{1 - 8}) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Bước 7.3.2

Trừ $8$ khỏi $1$ .

$8 (- e^{- 7}) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Bước 7.3.3

Nhân $- 1$ với $8$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Bước 7.3.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1 + 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Bước 7.3.5

Cộng $1$ và $0$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Bước 7.3.6

Rút gọn.

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Bước 7.3.7

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 e - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Bước 7.3.8

Nhân $0$ với $e$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Bước 7.3.9

Cộng $- 8 e^{- 7}$ và $0$ .

$- 8 e^{- 7} - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Bước 7.3.10

Rút gọn.

$- 8 e^{- 7} - (e^{- 7} - e)$

Bước 8

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

Bước 8.2

Kết hợp $- 8$ và $\frac{1}{e^{7}}$ .

$\frac{- 8}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

Bước 8.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{8}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

Bước 8.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} - - e$

Bước 8.5

Nhân $- - e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + 1 e$

Bước 8.5.2

Nhân $e$ với $1$ .

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + e$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + e$

Dạng thập phân:

$2.71007489 \dots$

Bước 10