Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{7} \frac{3 y^{2} - 2 y + 5}{y^{3} - y^{2} + 5 y + 1} d y$

Bước 1

Giả sử $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ . Sau đó $d u = (3 y^{2} - 2 y + 5) d y$ , nên $\frac{1}{3 y^{2} - 2 y + 5} d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} - y^{2} + 5 y + 1]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y^{2}$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$3 y^{2} - \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 y^{2} - (2 y) + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$3 y^{2} - 2 y + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.1.4

Tính $\frac{d}{d y} [5 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $5$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $5 y$ đối với $y$ là $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.1.4.3

Nhân $5$ với $1$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.1.5

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 + 0$

Bước 1.1.5.2

Cộng $3 y^{2} - 2 y + 5$ và $0$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $y$ trong $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ .

$u_{lower} = 0^{3} - 0^{2} + 5 \cdot 0 + 1$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0^{2} + 5 \cdot 0 + 1$

Bước 1.3.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0 + 5 \cdot 0 + 1$

Bước 1.3.1.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 5 \cdot 0 + 1$

Bước 1.3.1.4

Nhân $5$ với $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 0 + 1$

Bước 1.3.2

Cộng $0$ và $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Bước 1.3.3

Cộng $0$ và $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Bước 1.3.4

Cộng $0$ và $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $y$ trong $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ .

$u_{upper} = 7^{3} - 7^{2} + 5 \cdot 7 + 1$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Nâng $7$ lên lũy thừa $3$ .

$u_{upper} = 343 - 7^{2} + 5 \cdot 7 + 1$

Bước 1.5.1.2

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{upper} = 343 - 1 \cdot 49 + 5 \cdot 7 + 1$

Bước 1.5.1.3

Nhân $- 1$ với $49$ .

$u_{upper} = 343 - 49 + 5 \cdot 7 + 1$

Bước 1.5.1.4

Nhân $5$ với $7$ .

$u_{upper} = 343 - 49 + 35 + 1$

Bước 1.5.2

Trừ $49$ khỏi $343$ .

$u_{upper} = 294 + 35 + 1$

Bước 1.5.3

Cộng $294$ và $35$ .

$u_{upper} = 329 + 1$

Bước 1.5.4

Cộng $329$ và $1$ .

$u_{upper} = 330$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 330$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{330} \frac{1}{u} d u$

Bước 2

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{330}$

Bước 3

Tính $\ln (| u |)$ tại $330$ và tại $1$ .

$\ln (| 330 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 4

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 330 |}{| 1 |})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $330$ là $330$ .

$\ln (\frac{330}{| 1 |})$

Bước 5.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\ln (\frac{330}{1})$

Bước 5.3

Chia $330$ cho $1$ .

$\ln (330)$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\ln (330)$

Dạng thập phân:

$5.79909265 \dots$

Bước 7